Matematické Fórum

PeterSheldon · 14. 10. 2010 13:31

poradili byste mi prosím jak spočítat tuto sumu?

sum (1/2)^(i+2) , i=2 to 100

vím, že se na to použije geometrická posloupnost, máme 99 členů, vím, že q=1/2 a taky že a1= 1/16 ... ale nejsem si jistej jak to přesně aplikovat... wolframalpha mi v tom nepomůže, protože ta mi to vyjádří přesně spočítaný, ale já chci z tý sumy udělat jen ten rekurentní vzorec ne sumu... první člen a1 je podlě me 1/16 , když to dosadím do vzorce pro geometrickou posloupnost vyjde mi 1/16 * ((1/2^n -1)/ (1/2 - 1)) .. nejsem si jistý, zda je to správně.. děkuju za pomoc

Rumburak

Jednou z možností je pamatovat si obecný vzorec

(1) $\sum_{i=0}^{n} q^i \, = \,\frac {q^{n+1} \,-\,1}{q\,-\,1}$ , $q\,\ne\,1$

a konkretní případ na něj převést: máme tedy $q = \frac{1}{2}$ a počítáme

$\sum_{i=2}^{100} q^{i+2} \, = \sum_{j=0}^{98} q^{j+4} \, = q^4\cdot\sum_{j=0}^{98} q^{j} \,=\,q^4\cdot\,\frac {q^{99} \,-\,1}{q\,-\,1}$ .
Nejprve jsme provedli substituci i = j + 2 sumačního indexu, druhou úpravou bylo vytknutí společného dělitele $q^4$ všech členů sumy.

Je dobré umět vzorec (1) odvodit: Označíme $s_n\,:=\sum_{i=0}^{n} q^i$ . Potom
$qs_n\,=\,q\sum_{i=0}^{n} q^i\,=\,\sum_{i=0}^{n}q\cdot q^{i}\,=\,\sum_{i=0}^{n}q^{i+1}\,=\,\sum_{k=1}^{n+1}q^k\,=\,\sum_{k=1}^{n}q^k\,+\,q^{n+1} = \,\sum_{k=0}^{n}q^k\,+\,q^{n+1}\,-\,q^0\, =\,s_n \,+\, q^{n+1} \,-\,1$ ,
z takto vzniklé rovnice $qs_n\,=\,s_n \,+\, q^{n+1} \,-\,1$ snadno vyjádříme $s_n$ .

PeterSheldon · 14. 10. 2010 14:33

↑ Rumburak:

díky moc... hodně mi to pomohlo .. BTW: děkuju také za odvození

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2010 13:31

suma

#2 14. 10. 2010 14:13 — Editoval Rumburak (14. 10. 2010 14:40)

Re: suma

#3 14. 10. 2010 14:33

Re: suma

Zápatí