Matematické Fórum

Skrytý text:

Je zřejmé, že:
1) Existuje-li den, kdy neubude člověk, pak už nikdy neubyde žádný člověk.
2) Je-li v daný den D počet lidí sudý (2n) a ubyde-li v tento den jen jeden člověk, pak další den (a tedy i žádný následující den) nemůže již nikdo další ubýt (nejmenší k, že k>=(2n-1)/2 je totiž n a tedy tento člověk by ubyl již v den D a ne v den D-1).

Označme posloupnost ai, kde ai=počet lidí na ostrově na začátku dne i. Označme n index u an, od kterého je posloupnost ai konstantní (nikdo již dále neubývá). Pak:
a) Jsou-li a(i) a a(i+1) obě lichá nebo sudá, ubyli mezi těmito dvěma dny aspoň dva lidé.
b) Je-li a(i) sudé a a(i+1) liché a jejich rozdíl je 1, pak i+1=n (dle bodu 2), jinak je tedy tento rozdíl aspoň 3
c) Je-li a(i) liché a a(i+1) sudé, pak jejich rozdíl je nejméně 1 (triviálně)

Každému případu c odpovídá vzájemně jednoznačně nějaký případ b, který nastal před ním (před c) - např. poslední takový případ b, který tento případ c předchází. Součet lidí, kolik v tyto dva dny (typu b a c) ubylo, je aspoň 4 (1+3).

Tedy po k dnech (pokud každý den někdo ubude) ubyde aspoň 2(k-1)+1=2k-1 lidí (+1 bude jen v případě, že poslední změna je typu b, jinak bychom přičetli +2). Násobící konstanta 2 je zřejmá z předchozího vysvětlení. Tedy pokud až do 10. dne někdo ubyl, ubyde celkem 19 lidí. Tedy zbyde na konci 10. dne jeden člověk a ten, pokud nepřipustíme autokanibalismus, nikomu jinému nechutná.