Matematické Fórum

zuzcaj · 19. 10. 2010 21:29

Prosím, poraďte jak řešit nebo alespoň, zda existuje nějaký program či webová stránka, kde by mě na řešení navedli. Předem děkuji všem ochotníkům :)

Fauſt · 19. 10. 2010 22:16

$A = -A^T \hspace{30cm} a_{ij} = -a_{ji}$ (dobré je uvědomit si, jak taková matice bude vypadat)
$-A = A^T$

$A\cdot (B-C) = (A\cdot B)-(A\cdot C) = (A\cdot B)+(\underbrace{(-A)}_{A^T}\cdot C) = (A\cdot B)+(A^T\cdot C)$

Efektivnější bude samozřejmě ta strana, kde se musí méně násobit.

zuzcaj · 20. 10. 2010 13:24

Tak jsem to nějak spočítala a řešením by mělo být, že výrok je nepravdivý. A efektivnější je levá strana?

Fauſt · 20. 10. 2010 16:50

To by mě zajímalo, co jsi počítala :-)
Pokud myslíš, že je nepravdivý, tak potřebuješ akorát ten protipříklad.

Ale ten důkaz co jsem napsal je snad dobře, takže podle mě je pravdivý. Jednoduchými úpravami a jednou aplikací předpokladu jsem převedl pravou stranu na levou.

zuzcaj · 20. 10. 2010 20:30

A jejda, tak já to teda vůbec nechápu :( počítala jsem to tak, že jsem si za A, B a C dosadila libovolnou matici 3x3

zuzcaj · 20. 10. 2010 20:54

Přiznám se, jsem dost natvdrlá, myslíš, že bys mi mohl poskytnout celé řešení? Na oplátku můžu pomoct s čímkoliv jiným kromě matiky :) třeba anglinou, něminou a podobně :D řešení tohohle příkladu je pro mě hodně důležité. Moc moc díky.

Kametec · 20. 10. 2010 22:09

Ahoj,
↑ Fauſt: už napsal celé řešení. Jedinné, co se dá udělat je napsat ho znovu s komentářem.
K provedení tohoto důkazu je v první řadě vědět, jak se důkazy provádí obecně.
Dokazuješ-li $p\Rightarrow q$ , využíváš axiomy, již dokázané věty (vlastnosti) a předpoklady ( $p$ ).
Dosadíš-li matici 3x3, neřekne ti to nic o chování matic 4x4, nemluvě o tom, že B, C mohou být i obdélníkové. Důkaz musí být obecný.

Co tedy při důkazu využiji:
-Vlastnosi násobení matic (konkrétně distributivitu vůči sčítání)
-předpoklad $A=-A^T$
A nyní budu upravovat jednu stranu rovnosti v $q$ a pokusím se ukázat, že je stejná jako ta druhá.
Protože $A^T=-(-A^T)=-A$ (podle předpokladu, vidíš?), tak:
$(A \cdot B)+(A^T \cdot C)=(A \cdot B) + (-A \cdot C) = A \cdot B - A \cdot C = A \cdot (B - C)$
Tím je důkaz hotový. Tvrzení platí.

Dále efektivita výpočtu. Násobení a sčítání matic není nic jiného než opakované sčítání a násobení čísel. Čísla se zřejmě snáze sčítají než násobí. Proto je i sčítání matic "levnější" operace než násobení. Proto porovnáme počty maticových násobení na obou stranách. Vlevo jsou dvě, vpravo jedno. Proto je pro výpočet efektivnější pravá strana.

Myslím, že podrobněji to již půjde velmi těžko.