Matematické Fórum

zuzcaj · 20. 10. 2010 13:21

Prosím o návrh řešení, nevím si rady :( Předem děkuji.

Rumburak · 20. 10. 2010 14:15

Stačí si detailně uvědomit, co je na levé a co na pravé straně uvažované rovnice. Neboli:

1) Když X, Y jsou matice téhož typu, jak potom vypadá obecný prvek matice X + Y ? (viz definice součtu dvou matic)

2) Když X je matice a r reálné číslo, jak vypadá obecný prvek matice r*X ? (viz definice násobení matice reálným číslem)

zuzcaj · 20. 10. 2010 20:56

No, asi jsem tvé návrhy nepochopila :( myslíš, že bys mi mohl poskytnout celé řešení?Moc moc prosím.

Rumburak

Máme tedy rozhodmout, zda při stanovených předpokladech je splněna identita

(0) $\alpha(\beta A \,+\, \gamma C) \,=\, (\alpha \beta)A \,+\, (\alpha \gamma)C$

Připomeňme si definice lineárních operací s maticemi:

(1) Jsou-li dány matice $X = [x_{i,j}]$ , $Y = [y_{i,j}]$ stejného typu, potom definujeme $X+Y\,:= [x_{i,j}\, +\,y_{i,j}]$ .

Poněkud stručneji tedy $[x_{i,j}] \,+\, [y_{i,j}]\,:=\, [x_{i,j}\, +\,y_{i,j}]$ .

(2) Je-li dána matice $X = [x_{i,j}]$ a reálné číslo $\xi$ , potom definujeme $\xi X \,:= [\xi x_{i,j}]$ .

Stručněji: $\xi [x_{i,j}] \,:= [\xi x_{i,j}]$ .

Výsledkem je vždy matice téhož typu jako je typ těch matic, s nimiž je operace prováděna.

V naší úloze se jedná o matice $A$ , $C$ , které obě jsou typu (m,n) . Téhož typu pak bude i každá z matic

$\beta A$ , $\gamma C$ , $\beta A \,+\, \gamma C$ , $\alpha(\beta A \,+\, \gamma C)$

vystupujících na levé straně rovnosti (0) i každá z matic

$(\alpha \beta) A$ , $(\alpha \gamma) C$ , $(\alpha \beta) A\,+\,(\alpha \gamma) C$ ,

které vystupují na pravé straně téže rovnosti. Jeden z předpokladů, aby tato rovnost platila, totiž předpoklad, že
$\alpha(\beta A \,+\, \gamma C)$ , $(\alpha \beta) A\,+\,(\alpha \gamma) C$ jsou matice stejného typu, je tedy splněn.
Důkaz, že rovnost (0) opravdu platí, dokončíme podrobným výpočtem. Nechť $A = [a_{i,j}]$ , $C = [c_{i,j}]$ .
Podle tohoto označení a definic (1), (2) je

$\alpha(\beta A \,+\, \gamma C) \,=\,\alpha(\beta [a_{i,j}] \,+\, \gamma [c_{i,j}]) \,=\,\alpha([\beta a_{i,j}] \,+\, [\gamma c_{i,j}]) \,=\,\alpha[\beta a_{i,j} \,+\, \gamma c_{i,j}] \,=$
$=\,[\alpha\beta a_{i,j} \,+\, \alpha \gamma c_{i,j}] \,=\,[\alpha\beta a_{i,j}] \,+\, [\alpha \gamma c_{i,j}] \,=\,(\alpha\beta) [a_{i,j}] \,+\, (\alpha \gamma)[c_{i,j}] \,=\, (\alpha \beta) A\,+\,(\alpha \gamma) C$ .
Tím je rovnost (0) dokázána.