Matematické Fórum

Witiko · 20. 10. 2010 22:03 — Editoval Witiko (20. 10. 2010 22:04)

Smím se zeptat proč se u nerovnic s logaritmy s neznámou v základu nedělají dvě řešení, když nevíme, jestli je základ (0; 1) a nebo (1; infinity), pak je totiž invertovaná podmínka na druhém argumentu logaritmu, čímž bychom přeci mohli přijít o část výsledku?

Například.:
$log_{x-3}(x+1) < 2$

Jedna sada podmínek je pro základ od 1 do nekonečna:

x > 4 U x > 1

Nicméně neměli bychom udělat i druhé řešení, pokud by základ logaritmu byl 0 do 1:

x > 3 U x < 4 U x < 1

?

Witiko · 20. 10. 2010 22:13

Omlouvám se, nedošlo mi, že podmínka derivující z druhého argumentu nemůže být x < 1 jelikož by to znamenalo, že výsledkem mocnění kladného čísla je číslo záporné, což je pitomost.

jelena · 20. 10. 2010 22:54 — Editoval jelena (20. 10. 2010 22:58)

↑ Witiko:

Zdravím, sice jsi označil téma za vyřešené, ale nesouhlasím úplně s touto úvahou:

Nicméně neměli bychom udělat i druhé řešení, pokud by základ logaritmu byl 0 do 1:

x > 3 U x < 4 U x < 1

Podmínka pro argument log, tedy pro (x+1) zůstává stejná - musí být kladné. Také v zápisu nemá být "U", rozumím tomu "sjednocení intervalů?

Spíš tak: pro 3<x<4 a zároveň x>-1 (tedy už je zahrnuto v nerovnici 3<x<4) dojde při odstranění log ke změně znamenka nerovnosti z "menší" na "větší".

Zkus se na své zápisy podívat ještě jednou - buď jsi měl na mysli jiný vzorový příklad nebo je nějaké jiné nedorozuměni. Děkuji.

Witiko · 20. 10. 2010 23:36 — Editoval Witiko (20. 10. 2010 23:49)

Jak jsem psal v #2, jedná se o drobné nedorozumění. Podmínky mají být:

$log_{x-3}(x+1) < 2$

Vyplývající ze základu logaritmu: x > 3 && x != 4
Vyplývající z druhého členu logaritmu: x > 1

Což odpovídá i na mojí původní otázku, která vycházela z mylného předpokladu, že v případě základu logaritmu v intervalu (0; 1) musí být druhý člen logaritmu menší než 0, což je samozřejmě hloupost, jelikož by to znamenalo, že výsledkem mocnění kladného čísla je číslo záporné.

jelena · 20. 10. 2010 23:56

Witiko napsal(a):
Vyplývající ze základu logaritmu: x > 3 && x != 4
Vyplývající z druhého členu logaritmu: x > 1

to červené nevyplývá z "druhého členu logaritmu" (bylo mi doporučeno výrazu vztahujícímu se k znaku log (za znakem log) říkat "argument logaritmu"), mělo by být x > -1

Moje otázka: budeš uvažovat 2 varianty řešení takové logaritmické nerovnice (na intervalu (3, 4) a na intervalu (4, +oo))? Děkuji.

zdenek1

Witiko napsal(a):
Smím se zeptat proč se u nerovnic s logaritmy s neznámou v základu nedělají dvě řešení?

Ale ona se dělají.
Korektní postup:
a) $(0<x-3<1\ \wedge\ x>-1)\ \Rightarrow\ x\in(3;4)$
$\log_{x-3}(x+1)<2$
$x+1>(x-3)^2$
$x\in\left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)$ a spolu s počáteční podmínkou

$x\in(3;4)$

b) $x>4$
$\log_{x-3}(x+1)<2$
$x+1<(x-3)^2$
$x\in\left(-\infty;\frac{7-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{17}}{2};\infty\right)$
a spolu s počáteční podmínkou
$x\in\left(\frac{7+\sqrt{17}}{2};\infty\right)$

Řešení: $x\in(3;4)\cup\left(\frac{7+\sqrt{17}}{2};\infty\right)$