Matematické Fórum

faktorial · 07. 11. 2010 09:25

Uloha: dokazte ze : 4 delí n*n => 2 delí n

tieto typy uloh s dokazmi vôbec neechapem. ak dobre chapem tak staci dokazat ze 2 delí n a uz to je vyriesenie?

BakyX · 07. 11. 2010 11:11 — Editoval BakyX (07. 11. 2010 11:13)

Myslím, že treba dokázať:

Ak 4 delí n^2, tak 2 delí n

To dokážeš v pohode sám :)

Spybot · 07. 11. 2010 12:41

Myslim, ze najjednoduchsie by bolo spravit si obmenu implikacie.

Ak 2 nedelí n, tak 4 nedelí n^2

Cisla, ktore su nedelitelne dvomi sa daju zapisat v tvare 2k+1. Staci zistit, ci je druha mocnina 2k+1 delitelna 4.

BakyX · 07. 11. 2010 12:58

Prvočíselný rozklad čísla n^2, ktoré je deliteľné 4 určite obsahuje 2*2. Číslo, ktorého druhá odmocnina je prirodzené číslo má v rozklade o jednu dvojku menej - teda má tiež v rozklade 2. Tým pádom je deliteľné 2.

faktorial · 08. 11. 2010 17:39

takze spomenul som si ako sme to robili v skole. a zacal som takto:
chcel som dokazat ze : 4 delí n*n
1) n=4k (4k)*(4k) -- je delitelne 4
2) n=4k+1 (4k+1)*(4k+1)=16k^2+8k+1 ---- toto im nijak nevyslo ze je delitelne 4
3) n=4k+2 (4k+2)^2=16k^2+16k+4=4*(4k^2+4k+1) --- toto je delitelne 4
4) n=4k+3 (4k+3)^2=16k^2+24k+9 --- toto mi nevyslo ze je delitelne 4

tak vyslo mi ze 4 nedeli n^2. je to spravne?

BakyX · 08. 11. 2010 17:57

Matematická indukcia.

Ty nemáš dokázať, že 4 delí n*n, lebo to neplatí..Ty máš dokázať..AK 4 delí n*n, tak potom 2 delí n.

faktorial · 08. 11. 2010 18:17

takze ja mam dokazat ze 2 deli n?

Peppy · 09. 11. 2010 19:03 — Editoval Peppy (09. 11. 2010 19:06)

Veta V: Ak 4 delí n na druhú, potom 2 delí n. Matematicky:
$4 | n^2 \Rightarrow 2 | n$

Ja (osobne) by som dokazoval pomocou Nepriameho dôkazu.

V nepriamom dôkaze urobíš dve veci:

- Obmenenú vetu vety V
- Priamy dôkaz obmenej vety.

Tj.

$2 \not| n \Rightarrow \exists k \in N_{0} ; n = 2k+1 \Rightarrow n^2 = 4k^2+4k+1 \Rightarrow n^2 = 2(2k^2+2k)+1 \Rightarrow 2l+1 ; l = k^2 + k ...$
Posledná implikácia znamená: substitúcia v tvare 2-krát niečo
A teraz otázka: Aké čísla sú v tvare 2-krát niečo plus 1 ? No predsa nepárne ! Vrátiš sa na začiatok a píšeš ďalej:

$... \Rightarrow 2 \not| n \Rightarrow 2 | n \Rightarrow 4 | n^2 \Leftrightarrow 4 | n^2 \Rightarrow 2 | n QED$
A dokázal si obmenenú vetu, z toho vyplýva, že si dokázal aj priamu vetu (po slovensky): Ak dva nedelí n, potom existuje také celé číslo k z množiny prirodzených čísel vrátane nuly pre ktoré platí, že každé nepárne číslo sa dá zapísať v tvare 2k+1 tj: $2 \not| n \Rightarrow \exists k \in N_{0} ; n = 2k+1$ . A ak je n nepárne (predcházajúca veta) potom platí, že aj jeho druhá mocnina je nepárna, tj: $\Rightarrow n^2 = 4k^2+4k+1 \Rightarrow n^2 = 2(2k^2+2k)+1 \Rightarrow 2l+1$ A ak je číslo nepárne a aj jeho druhá mocnina, z toho vyplýva opak, že: Každé kladné číslo umocnené na druhú, je deliteľné štyrmi