Matematické Fórum

janicek11

Dobrý den, prosím pokud by jstě aspon trošíčku popostčili jak řešit takovéto příklady:

$lim{x,y->0,0} (x+y)sin(\frac{1}{x})cos(\frac{1}{x})$

$lim{x,y->oo,1}(1+\frac{1}{x})^{\frac{x^2}{x+y}}$

Děkuji moc

Rumburak

I. Všechny hodnoty reálných funkci sin, cos leží v intervvalu [-1, 1] , proto platí odhad

(1) $0\,\le\,\|(x+y)sin(\frac{1}{x})cos(\frac{1}{x})\| = |x+y|\cdot\|sin(\frac{1}{x})\|\cdot\|cos(\frac{1}{x})\|\,\le\,|x+y|$

Ukázat, že $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \,|x+y| \,=\, 0$ už není těžké, dále se použije (1) a věta o dvou policajtech.
Hledaná limita je tedy 0, avšak jde o limitu relativní vzhledem k rovině bez obou souřadnicových os, na nichž limitovaná funkce není definována.

II. Limitovaný výraz upravíme:

(2) $V(x,y)\,:=\,$1+\frac{1}{x}$^{\frac{x^2}{x+y}}\,=\,$\(1+\frac{1}{x}$^x\)^{\frac{x}{x+y}}$ .

Zvolme konstanty $a,\,b$ takové, aby $0 \,<\,a \,<\,1\,<\,b$ . Potom pro libovolná $x\,>\, 0$ , $y\,\in\,(a,\,b)$ bude $\frac {x}{x+b}\,\le\,\frac {x}{x+y}\,\le\,\frac {x}{x+a}$ ,

následně toho a dle (2) bude splněna nerovnost

(3) $$\(1+\frac{1}{x}$^x\)^{\frac{x}{x+b}}\,\le\,V(x,y)\,\le\,$\(1+\frac{1}{x}$^x\)^{\frac{x}{x+a}}$ .

Limity pro $x \to +\infty$ z levého i pravého "křídla" poslední nerovnosti jsou obě rovny $\text{e}$ , takže (opět podle věty o dvou p.)
$\lim_{x \to +\infty}\,V(x,y) \,=\,\text{e}$ , při čemž tato limita je stejnoměrná vzhledem k $y\,\in\,(a,b)$ . (Stejnoměrnost limity plyne z faktu,
že levé ani pravé "křídlo" nerovnosti (3) není již závislé na $y\,\in\,(a,b)$ . ) Zároveň $1\,\in\,(a,b)$ . Odtud

$\lim_{[x,y] \to [+\infty,1]}\,V(x,y)\,=\,\text{e}$ .

janicek11

Děkuji moc za pomoc, chtěl bych se ještě zeptat na toto:

Rozhodněte o spojitosti složené funkce:

$f**g, f(t)=t^2,g(x,y)=3x-2y$ , mě napadlo : $f**g=(3x-2y)^2$ ta je podle mě spojitá všude.
Nikdy jsem nic podobného neřešil tak si nejsem jist zda je to správně.
znak ** vyjadřuje složenou funkci
Děkuji za rady

Rumburak · 12. 11. 2010 15:07

↑ janicek11:
Ano, výsledkem je funkce, která je všude spojitá. Zdůvodnit se to dá třeba takto:

1. Každá z funkcí a(x, y) := x , b(x, y) := y je spijitá (míněno v R x R) .

2. Konstantní funkce jsou spojité.

3. Funkce 3a, 2b , 3a - 2b , (3a - 2b)(3a - 2b) jsou spojité podle vět o sppojitosti součinu a součtu (resp. rozdílu) spojitých funkcí.

Závěr o spojitosti funkce (3a - 2b)(3a - 2b) = (3a - 2b)^2 lze ušinit též podle věty o spojitosti složené funkce, neboť funkce f(t) = t^2 je spojitá.

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2010 20:15 — Editoval janicek11 (07. 11. 2010 20:16)

limity fce dvou proměnných

#2 08. 11. 2010 13:01 — Editoval Rumburak (09. 11. 2010 14:01)

Re: limity fce dvou proměnných

#3 12. 11. 2010 14:30 — Editoval janicek11 (12. 11. 2010 14:30)

Re: limity fce dvou proměnných

#4 12. 11. 2010 15:07

Re: limity fce dvou proměnných

Zápatí