Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 11. 11. 2010 19:48

Zdravíčko
mám takový problém s příkladem : http://trial.kma.zcu.cz/TCALCULUS1/5/6/1/latex340.png . Limitu mám dokázat pomocí Cauchyho. zjistím, že epsilon ln x/5 ale dál si nevím rady.
Díky moc za jakoukoliv pomoc :-)

s-o-k-o-l · 11. 11. 2010 19:56

↑ s-o-k-o-l:

teď naco sem přišel je, že udělám zlogaritmování a vyjde mi na konci - 5 - e^epsilon < x < 5+e^epsilon . Takže volím delta min {5 - e^epsilon ;5+e^epsilon} ale jestli je to správně?

Rumburak

↑ s-o-k-o-l:

Důkaz bude záviset na způsobu, kterým byla funkce ln definována (existuje více ekvivalentních možností),
případně na tom, co už o ní máme dokázáno.

Například víme-li, že pro každé x > 0 je

(1) $\ln \,x \,=\,\int_1^x \,\frac{\text{d}\,t}{t}$

(ať již je to definice nebo věta - podle toho, kterou cestou teorii budujeme) , potom

$\ln \,x \,-\,\ln\,5\,=\,\int_1^x \,\frac{\text{d}\,t}{t}\,-\,\int_1^5 \,\frac{\text{d}\,t}{t}\,=\,\int_5^x \,\frac{\text{d}\,t}{t}$ .

Nyní půjde o to vyšetřit chování posledního integrálu pro x blížící se k 5 .
Zvolme pevně $\Delta\, >\, 0$ takové, aby zároveň $0\, <\, 5-\Delta$ . Potom pro každé $t\in( 5-\Delta, \,5+\Delta)$ je

$5+\Delta \,>\,t\,>\, 5-\Delta\,>\,0$ ,
$0\,<\, \frac{1}{5+\Delta} \,<\,\frac{1}{t}\,<\, \frac{1}{5-\Delta$ .

Pro $x\in(5-\Delta, \,5+\Delta)$ tedy bude

$\|\int_5^x \,\frac{\text{d}\,t}{t}\| \,\le\, |x-5|\cdot \sup \{\,\frac{1}{|t|}\,;\,t\in(5-\Delta, \,5+\Delta)\,\}\,\le\,\frac{|x-5|}{5-\Delta}$ .

Pomocí tohoto odhadu už snadno provedeme tradiční "epsilon-delta gymnastiku", jak požadováno.
(Jinak by šlo rovnou využít větu o spojitosti integrálu podle horní meze.)

Pokud máme funkci ln definovánu jinak než vzorcem (1) a tento vzorec ještě neznáme nebo ho nechceme použít,
musela by se hledat jiná cesta.

Toto

s-o-k-o-l napsal(a):
↑ s-o-k-o-l:

teď naco sem přišel je, že udělám zlogaritmování a vyjde mi na konci - 5 - e^epsilon < x < 5+e^epsilon . Takže volím delta min {5 - e^epsilon ;5+e^epsilon} ale jestli je to správně?

není dostatčně podrobné ani srozumitelné, aby bylo možno to posoudit.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2010 19:48

limita dle Cauchyho definice

#2 11. 11. 2010 19:56

Re: limita dle Cauchyho definice

#3 12. 11. 2010 11:21 — Editoval Rumburak (12. 11. 2010 15:35)

Re: limita dle Cauchyho definice

s-o-k-o-l napsal(a):

Zápatí