Matematické Fórum

janca361 · 15. 11. 2010 18:19

Zdravím,
mám udělat důkaz $3|n^3+2n.$

a) n=3k
$3|n^3+2n=(3k)^3+2.3k=(3k)^3+6k=37k^3+6k=3(9k^3+2k)$ $\surd$

b) n=3k+1
$3|n^3+2n=(3k+1)^3+2.(3k+1)=$

c) n=3k+2
$3|n^3+2n=(3k+2)^3+2.(3k+2)=$

Jak pokračovat v případě b) a c)? Jak vytknou 3 ze závorky, která je na třetí?
Předem díky.

BakyX · 15. 11. 2010 18:24 — Editoval BakyX (15. 11. 2010 18:25)

b) Jednoducho to pomocou vzorcov roznásobom a hneď je všetko jasné..To isté sprav s c). Je to veľmi ľahké

zdenek1 · 15. 11. 2010 18:24

↑ janca361:
Co třeba otevřít závorky?

janca361 · 15. 11. 2010 18:41

↑ BakyX:

Kdybych věděla podle jakého vzorce :(

↑ zdenek1:
Co myslíš tím 'otevřít závorky'?

faktorial

podla (a+b)^3. cize roznasobis to podla tohto vzorca, potom scitas s druhou zatvorkou a potom si vies vynat 3 pred zatvorku.

Lerion · 15. 11. 2010 18:52

↑ janca361:
Roznasob tu zavorku na 3ti a pak z obou vytkni (3k+1) nebo (3k+2)

janca361 · 15. 11. 2010 19:02

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ?

b) n=3k+1
$3|n^3+2n=(3k+1)^3+2.(3k+1)=3k^3+3.3k^2+3.3k+1+2.(3k+1)=3k^3+9k^2+9k+1+6k+2=12k^2+15k+3=3.(4k^2+5k+1)$ $\surd$

c) n=3k+2
$3|n^3+2n=(3k+2)^3+2.(3k+2)=3k^3+3.3k^2.2+3.3k.2^2+2^3+2.(3k+2)=3k^3+18k^2+36k+8+6k+4=21k^3+42k+12=3.(7k^3+14k+4)$ $\surd$

Je to dobře?

BakyX · 15. 11. 2010 19:16

je

janca361 · 15. 11. 2010 19:25

Díky.

Označím za vyřešené.

faktorial

$3|n^3+2n=(3k+1)^3+2.(3k+1)=3k^3+3.3k^2+3.3k+1+2.(3k+1)=3k^3+9k^2+9k+1+6k+2=12k^2+15k+3=3.(4k^2+5k+1)$

je toto spravne vypocitane?
nemalo by to byt takto ?
$3|n^3+2n=(3k+1)^3+2.(3k+1)=9k^3+27k^2+15k+1+2.(3k+1)=9k^3+27k^2+21k+3$

Kondr · 16. 11. 2010 00:34

$n^3+2n=n(n-1)(n+1)+3n$ . První sčítanec je dlitelný třemi, protože jedno z čísel n-1,n,n+1 je dělitelné 3. Druhý je dělitelný 3 zřejmě. QED.

janca361

↑ Kondr:

To tvoje trošku nechápu. Spíš mi připadá jakoby se jednalo o 3 po sobě jdoucí čísla.
Jak si došel na to $3n$ ?

EDIT:
Tak na $3n$ jsem přišla, ale jak z toho udělám důkaz?
$n^3+2n=n(n-1)(n+1)+3n$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$n(n-1)(n+1)+3n=n(n^2-1)+3n=n^3-n+3n=n^3+2n$

Kondr · 22. 11. 2010 01:26

↑ janca361: Ten důkaz by zněl podobně, jako jsem napsal výše:

Výraz $n^3+2n$ lze upravit do tvaru $n(n-1)(n+1)+3n$ . První sčítanec je dlitelný třemi, protože jedno z čísel n-1,n,n+1 je dělitelné 3 a součin tří čísel, z nichž jedno je dělitelné 3 je dělitelný 3. Druhý je dělitelný 3 zřejmě. Součet dvou čísel dělitelných 3 je dělitelný 3, proto trojka dělí zadaný výraz pro všechna celá $n$ . Tím bylo zadané tvrzení dokázáno.

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2010 18:19

Důkaz 3|n^3+2n

#2 15. 11. 2010 18:24 — Editoval BakyX (15. 11. 2010 18:25)

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#3 15. 11. 2010 18:24

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#4 15. 11. 2010 18:41

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#5 15. 11. 2010 18:50 — Editoval faktorial (15. 11. 2010 18:50)

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#6 15. 11. 2010 18:52

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#7 15. 11. 2010 19:02

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#8 15. 11. 2010 19:16

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#9 15. 11. 2010 19:25

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#10 15. 11. 2010 19:29 — Editoval faktorial (15. 11. 2010 19:30)

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#11 16. 11. 2010 00:34

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#12 16. 11. 2010 06:42 — Editoval janca361 (16. 11. 2010 06:43)

Re: Důkaz 3|n^3+2n

#13 22. 11. 2010 01:26

Re: Důkaz 3|n^3+2n

Zápatí