Matematické Fórum

v odkazovaném tématu http://www.matematika.havrlant.net/foru … php?id=225 jsem inflexní bod určoval na základě třetí derivace. Obecně ale záleží totiž na tom, jaký je nejnižší řád nenulové derivace.
Korektně řečeno: nech? x je bod takový, že je v něm definována f i prvních k+1 derivací funkce f. Je-li prvních druhá až k-tá z těchto derivací nulových a k+1. je nenulová, mohou nastat dva případy:
k je liché =>x není inflexní bod
k je sudé =>x je inflexní bod

a)
f(x) = 2x^6 - 6x^5 + 5x^4 - 4x + 3,
f'(x) = 12x^5 - 30x^4 + 20x^3 - 4.
f''(x) = 60x^4 - 120x^3 + 60x^2=60x^2(x-1)^2
f'''(x)=240x^3-360x^2+120x
f''''(x)=720x^2-720x+120
Druhá derivace je nulová v nule a jedničce. V obou těchto bodech je i třetí derivace nulová, čtvrtá je nenulová.
Funkce nemá inflexní body.


b)
f(x) = 3x^5 - 20x^4 + 40x^3
f'(x) = 15x^4 - 80x^3 + 120x^2
f''(x) = 60x^3 - 240x^2 + 240x=60x(x-2)^2
f'''(x)=180x^2 - 480x + 240
f''''(x)=360x-480
Kandidáti na inflexní bod jsou proto 0 a 2. V 0 je třetí nenulová, 0 je tedy inflexní bod. Ve dvojce je
třetí nulová a čtvrtá nenulová, dvojka není inflexní bod.
Směrnice tečny v daném bodě je dána první derivací, v 0 má tečna směrnici f'(0)=0, tato tečna v prochází bodem [0,f(0)]=[0,0], má směrnici 0, je tedy dána rovnicí y=0.