Matematické Fórum

↑ Farley:

Já si myslim, že uvažuješ správně.

Pro představu -- tři lineárně nezávislé vektory určují 3D prostor. Lineární nezávislost požaduje vlastně to, že každý vektor tam "něco přidá" -- můžeš to brát tak, že každý určuje jednu souřadnicovou osu. (Ty vektory na sebe nemusí být kolmé, jak je to u normálních soustav souřadnic, ale snad se shodnem na tom, že i zvrhlé soustavy souřadnic stále popisují ten samý prostor.)

Pokud ty vektory nejsou lineárně nezávislé a řekněme, že jeden je násobkem druhého, tak oba vlastně určují tu samou osu -- jenom jinak roztáhlou. Když jeden vektor je lineární kombinací nějakých dvou, tak ukazuje kamsi do roviny určené těma dvěma vektory -- pokud chceme vytvořit 3D prostor, tak nemůžou být všechny tři "osy" v jedné rovině.

To je pro představu toho, co to vlastně znamená ta lineární nezávislost. A teď si vem matici 4x3 -- tedy čtyři trojprvkové vektory. Když jsou trojprvkové, tak se jimi dá popsat nejvýš 3D prostor, že? Ale kdyby to byly čtyři lineárně nezávislé vektory, tak by popisovaly čtyřrozměrný prostor. Myslím, že je celkem vidět, že na čtyřrozměrný prostor mi nestačí trojice souřadnic -- takže ten prostor musí být nejvýš třírozměrný -- ergo, nějaký vektor je lineární kombinací tří zbývajících.

Dává ti tohle nějakou lepší představu o problému?

↑ Farley:

A dokážeš teda najít nějakou lineárně nezávislou čtveřici vektorů délky 3?

Princip je prostě takovej, že čtyři lineárně nezávislé vektory se ti nevejdou do prostoru dimenze tři. Existuje tvrzení, které říká, že báze prostoru je maximální lineárně nezávislá množina vektorů. A protože dimenze prostoru je velikost jeho báze, tak nemůže existovat čtyřprvková lineárně nezávislá množina vektorů prostoru dimenze tři.

Nebo trochu víc graficky -- zkus si do 3D prostoru naskládat čtyři přímky tak, aby byly na sebe navzájem kolmé. (Existuje věta, která říká, že když máš čtyři lineárně nezávislé vektory, tak z nich můžeš vyrobit vektory, které jsou na sebe dokonce kolmé. Kdyby tedy existovaly čtyři LN vektory, tak už musí existovat i čtyři navzájem kolmé vektory, které určují čtyři navzájem kolmé přímky.)

Edit: Anebo ještě jinak, pokud máš rád soustavy rovnic.

Vezmu si čtyři vektory, a pokusím se najít lineární kombinaci. To znamená, že se pokouším najít řešení rovnice různé od x = y = z = w = 0.

To se dá rozepsat na soustavu rovnic:



To je soustava tří rovnic o čtyřech neznámých. Když mám míň rovnic než neznámých, tak najdu nekonečně mnoho řešení. Z každého řešení, kde nejsou samé nuly, vyrobím lineární kombinaci. Řekněme, že mám řešení x, y, z, w a chci nakombinovat vektor a. Tak to upravím jako rovnici:




Pokud x je nenulové. Pokud je x nulové ve všech řešeních, tak stejným způsobem nakombinuju jiný vektor, pro který je příslušné písmenko nenulové.

↑ Farley:

Ano. Například .

↑ Farley:

Takyže existuje -- například nula. Ta matice 4x3, kterou jsi zadal vektory, nemá hodnost 3 ale 2, takže si dokonce můžu dovolit jeden vektor vynechat.

Řádky nulou násobit nemůžeš, to máš pravdu.

Teď sem s tou maticí počítal trochu pořádnějc, a vypadá to, že má skutečně hodnost 3 a ne 2. Doufám, že sem tě tím moc nezmátl.

Taky že neexistují. Ten první se pořád dá vyjádřit jako kombinace druhého a třetího, takže ty čtyři vektory nejsou lineárně nezávislé. Že v té kombinaci nepoužiju ten poslední, to na věci nic nemění. Aby množina byla lineárně nezávislá, tak nesmí existovat žádná kombinace žádného vektoru z žádných zbývajících.

Tady platí třeba w = 0.608601888020833 * v - 1.217230011370350 * u + 1.608613833848620 * z.

Je to jenom přibližné řešení:

0.608601888020833 - 4 * 1.217230011370350 + 7 * 1.608613833848620 = 6.999978679479773 =~ 7
2 * 0.608601888020833 - 5 * 1.217230011370350 + 8 * 1.608613833848620 = 7.999964389978876 =~ 8
3 * 0.608601888020833 - 456534534354 * 1.217230011370350 + 345457389932 * 1.608613833848620 = 9.001122572152439 =~ 9

Kdybych to nepočítal na počítači, který pracuje jenom s omezenou přesností, tak by mi ta čísla měla vyjít úplně přesně.