Matematické Fórum

eerikk · 23. 11. 2010 16:56 — Editoval eerikk (23. 11. 2010 16:57)

Najdite najvacsie realne cislo a, pre ktore je mnozina rieseni nerovnice: $|x-a|+|x-2a|\leq1$ neprazdna.
Zacal som tak, ze som si urcil nulove body: $a, 2a$ a ciselnu os rozdelil na intervaly: $(\infty,a);(a,2a);(2a,\infty)$ . Ale podla coho teraz budem riesit nerovnice na intervaloch bez absolutnej h.?

Ma to byt cislo 1.

eerikk · 25. 11. 2010 21:20 — Editoval eerikk (25. 11. 2010 21:21)

Netuší nikto ako takéto rovnice riešiť? Stačí ma len trošku nakopnúť a ja sa pokúsim dostať tu jednotku. Prosím :)

medvidek · 26. 11. 2010 06:10

Intervaly na číselnej osi definuj zvlášť pre $a \ge 0$ a pre $a \le 0$ , pretože v prvom prípade je $2a \ge a$ a v druhom $2a \le a$ .
(vznikne teda 2x3=6 možností, ďalej budem ukazovať postup len pre jednu z nich)

Pre každú z možností vyrieš nerovnicu vzhľadom k $x$ .
Napríklad pre $a \ge 0$ a $x \in (2a; \infty)$ dostaneš $x \le \frac{3a+1}2$ .
Z tohoto dielčieho výsledku je treba vylúčiť $x$ . Využije sa k tomu relácia medzi $a$ a $x$ , ktorá v danom intervale platí.
Napríklad v intervale $x \in (2a; \infty)$ máme $2a \le x$ .
V tomto prípade po vylúčení $x$ dostaneme
$2a \le \frac{3a+1}2$ => $a \le 1$ .
Predpoklad bol $a \ge 0$ , preto $a \in \left< 0; 1 \right>$ .

Podobným postupom sa dopracuješ ku všetkým 6 možnostiam intervalu $a \in \left< \ ... \ ; \ ... \ \right>$ .

Na záver je treba urobiť zjednotenie týchto intervalov. Mal by si dostať
$a \in \left< -1; 1 \right>$ .
Najväčšie reálne číslo z tohoto intervalu je $a=1$ .