Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 01. 12. 2010 20:26
důkaz vět o limitách
Dobrý den,
paní prof. z matematiky nám v rámci samostudia zadala důkaz na věty o limitách. Není úkol v pravém slova smyslu, spíš jde o něco co bychom si měli zkusit. Ona pak důkaz bude provádět příští týden náhradní hodinu a jelikož jedu příští týden pryč, chtěl jsem si důkaz udělat sám, ale nevím vůbec jak začít. Kdybyste mě mohli, prosím, popostrčit - typ důkazu a první kroky nebo předpoklady atd. Děkuji
I. Každá konvergentni posloupnos má právě jednu limitu.
II. Každá konvergentní posl. je omezená.
III. Jestliže existuje lim a_n=a a lim b_n=b, potom platí:
a zde jsou výroky o sčítání, odečítání, dělení a násobení limit.
Předem děkuji.
Offline
#2 01. 12. 2010 20:46
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: důkaz vět o limitách
↑ Mythic:
Dobrý den,
ve všech případech bude nutné vyjít z definice limity posloupnosti.
I. sporem
II. z definice plyne omezení posloupnosti od jistého n
III. předpokládáš existenci limit a a b. Napiš si, co to z definice limity přesně znamená. Pak si napiš to, co chceš přesně dokázat zase podle definice limity. Podrobněji kdyžtak později, až budeš mít I. a II.
Offline
#3 01. 12. 2010 21:21
Re: důkaz vět o limitách
ok. V prvním případě tedy vycházím z toho, že výrok neplatí a tedy: Předpokládáme, že posl. má více než jednu limitu. Tedy že poslpopnost a_n m=a limitz a, b (a =/= b).
Potom tedy kazde epsilon je vetsi nez nula a z toho vypliva, ze existuje alespon jedno n0 (z N) pro ktere plati ze n je vetsi nebo rovno n0 a z toho plyne ze |a_n - a|>epsilon.
a zaroven
Potom tedy kazde epsilon je vetsi nez nula a z toho vypliva, ze existuje alespon jedno n1 (z N) pro ktere plati ze n je vetsi nebo rovno n1 a z toho plyne ze |a_n - b|>epsilon.
a je-li tento predpoklad tedy spravny, jak mam postupovat dal? Dosadit oba vyroky do nejake soustavy rovnic a pokracovat v pocitani az do sporu?
Offline
#4 01. 12. 2010 21:24
- halogan
- Ondřej
- Místo: UK
- Příspěvky: 4528
- Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
- Pozice: student
- Reputace: 106
Re: důkaz vět o limitách
Nechť jsou ty limity rovno A a B (budu tady pracovat jen s reálnými, na obor R* to snadno rozšíříš) a BÚNO A > B.
Zvolím si epsilon takové, že pokud by a_n mělo být větší než A - epsilon a zároveň menší než B + epsilon, tak se dostanu do sporu. (samozřejme pro n vetší než max(n_0, n_1)).
Zkus si to nakreslit a hned uvidíš.
Offline
#5 01. 12. 2010 22:42
Re: důkaz vět o limitách
Jo, ja si to umim představit. Jen pak nevim, jak to zapsat pomoci matematickych operaci... Matematiku chapu tak nejak intuitivne a logicky, ovsem kdyz mam kvantifikatory zapsany vyrok tak si to musim nejlepe nakreslit nebo uvest priklad, aby mi to davalo smysl. :D
Myslim, ze prvni dukaz mam hotovy. Zitra udelam ten druhy a pak ho sem hodim. Kdybyste byl zitra ochotny se mi na nej podivat, budu vam vdecny ;-) Hodim ho sem vecer kolem 7-8.
Offline