Matematické Fórum

JamesS · 04. 12. 2010 16:08 — Editoval JamesS (04. 12. 2010 16:16)

Ahojte, potřeboval bych pomoct s příkladem... už ho počítám pár dní a asi vždycky něco přehlédnu nebo se prostě nějak nedopočítám...
$\lim_{n\rightarrow+\infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2})^n$

Začínám trikem $x=e^{\ln{x}}$ pak mě napadá vytknout $\sqrt[n]{b}$ pak rozdělím logaritmus... pak myslím, že žádná cesta nikam nevede...následovat by asi měla úprava, která umožní použití Heineho věty a potom že $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ (teda myslím, že to tak je)

Marian · 04. 12. 2010 17:51 — Editoval Marian (04. 12. 2010 17:52)

↑ JamesS:

Řešení není těžké. Jednu z možností prezentuji níže. Hodnotu studované limity označím $L(a,b)$ .

(1) Je-li $a=b$ , $a>0$ , $b>0$ , výsledek dostaneme triviálně, totiž $L(a,b)=L(a,a)=L(b,b)=a=b.$

(2) Vzhledem k symetrii parametrů $a,b$ platí jistě $L(a,b)=L(b,a)$ . Vyloučíme nyní z našich úvah předchozí degenerovaný případ; lze tudíž bez újmy na obecnosti přijmout předpoklad $a>b>0$ . Existuje tudíž konstanta $k>1$ taková, že platí $a=k\cdot b$ . Proto (značím exp(x) exponenciální funkci $\mathrm{e}^x$ )

Pokud položíme $1/n =x$ , pak pro $n\to\infty$ je $x\to 0^+$ . Dále se užije základního výsledku

$\lim_{x\to 0^+}\frac{k^x-1}{x}=\ln (k),\qquad\qquad k>0.$

To již dává výsledek studované limity, totiž

$L(k\cdot b,b)=b\cdot\exp\left (\frac{1}{2}\ln (k)\right )=b\cdot\sqrt{k}=b\cdot\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{ab}.$

Výpočet se dá ovšem odvodit i více elementárně; na druhou stranu, výpočet by byl delší.