Matematické Fórum

halogan · 05. 12. 2010 20:44

Dobrý den,

předem se přiznám, že jsem na semináři nejspíš nedával pozor, protože jsme něco takového dělali. Zároveň se přiznávám, že vědomě porušuji pravidla, protože předpokládám, že oba mé problémy budou míti podobné řešení.

Narazil jsem při počtech na dva dílčí integrály:

1) x^2/(x^4 + 1)

2) 1/(x^2 + bx + c)^k, případně s čitatelem Ax + B. Prostě dílčí zlomek rozkladu na parciální zlomky.

U toho prvního předpokládám, že to mám ve jmenovateli rozložit na součin (x^2 + bx + c)(x^2 + dx + e), ale nějak nevím, jak se k tomu dostat. Dostanu se k akorát ke komplexním číslům, ale moc pěkné to není.

U toho druhého to je snadné pro jedničku, to je arkus tangens +- nějaké drobné. Pokud tam je ale vyšší mocnina, tak nevím, co s tím.

Wolfram Alpha má nějaké hezké tipy, ale ocenil bych nějaký lidský tip. Případně odkaz na materiály/řešené úlohy/... Věřím, že to je omílané téma.

Děkuji a hezký zbytek večera přeji.

Pavel Brožek · 05. 12. 2010 22:18

↑ halogan:

1) Pokud máš základy z komplexních čísel, tak umíš najít kořeny jmenovatele. Umíš tedy najít rozklad jmenovatele na kořenové činitele. Pak dáš dohromady ty činitele, které mají komplexně sdružené kořeny a dostaneš tak součin dvou kvadratických trojčlenů.

K dvojce něco napíšu později.

Pavel Brožek

2) Poměrně snadno se dá přejít na integrál z $\frac{1}{(1+x^2)^k}$ (doplním v závorce na čtverec, vytknu absolutní člen, a provedu substituci). Toto se pak dá převést na integrál z $\frac{1}{(1+x^2)^{k-1}}$ následujícím způsobem:

Přepíšu si $\frac{1}{(1+x^2)^k}=\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^k}=\frac{1}{(1+x^2)^{k-1}}+\frac{x^2}{(1+x^2)^k}$ .

Druhý člen integruji pomocí per partes, kde budu derivovat $x$ a integrovat $\frac{x}{(1+x^2)^k}$ . Tím by ti už měly zbýt jen integrály z $\frac{1}{(1+x^2)^{k-1}}$ , které budeš řešit stejným postupem. Někdy musí exponent klesnout na jedna, což už umíš řešit jinak.

Edit: Kdyby v čitateli bylo Ax+B, tak si nejprve v čiteteli „vyrobíš“ derivaci kvadratického trojčlenu ve jmenovateli. Tak se zbavíš lineárního členu a zbytek se řeší jako výše. Jsem asi dost stručný, tak kdyby něco nebylo jasné… :-)

Edit2: Nepamatuji se, že bych někdy potřeboval integrovat parciální zlomek s $k\geq2$ . Je to ale poměrně hezký trik, snad proto si ho pamatuji :-).

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2010 20:44

Integrování podílů polynomů

#2 05. 12. 2010 22:18

Re: Integrování podílů polynomů

#3 05. 12. 2010 22:45 — Editoval BrozekP (05. 12. 2010 22:56)

Re: Integrování podílů polynomů

Zápatí