Matematické Fórum

lotoss · 07. 12. 2010 20:06

zdravim pani. takze mam taketo zadanie a neviem s tym. ani zacat co mi poradite?

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 07. 12. 2010 20:12

to je myslim na krivkovy integral, ne?

lotoss · 07. 12. 2010 20:22 — Editoval lotoss (07. 12. 2010 21:55)

Ano na krivkovy integral.

edit1: ja potrebujem hlavne parametrizovat tu krivku. aby som sa pohol dalej. chapem ako: r(t) = (x(t), y(t), z(t) ) , t<a,b>
ale neviem nakreslit y=xtan(ß) a tu gulu viem ale ako to bude vyzerat v prieniku
neni to nahodou gula zrezana rovinou z=0?

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 07. 12. 2010 21:23

O.K. podarilo se sestavit ten integral?

lotoss · 08. 12. 2010 16:43

no pravdupovediac nepodarilo

Rumburak

↑ lotoss:
Začal bych tím, že bych tu kulovou sféru popsal ve sférických souřadnicích - speciálně možná takto:

(1) $x \,= \,a \,\cos \varphi \,\sin \psi$ , $z \,= \,a \,\sin \varphi \,\sin \psi$ , $y \,= \,a \,\cos \psi$ , kde $\varphi \in [0, \,2\pi)$ , $\psi \in \[ 0, \,\pi\]$ .

lotoss · 08. 12. 2010 17:53

z tej rovnice gule potom vychadza ze a^2 = r^2 tym padom dostavam aj hranice pre "a" je tak?

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 08. 12. 2010 18:43

jeste by se tam asi mela zakomponovat ta rovina. V rovnici nevystupuje z, takze rovina bude svisla.

Rumburak

↑ lotoss:
To speciální doporučení v ↑ Rumburak: beru zpět. Zpočátku mi připadalo, že bude výhodné postavit parametry tak, aby hledaná křivka
vyšla parametrisována tou proměnnou, která probíhá interval $[0, \,2\pi)$ - pak by už nebylo nutné skládat ji ze dvou oblouků. Tato drobná výhoda
je však znehodnocena tím, že v parametrických rovnicích křivky pak vystupují složitější funkce.

Zvolme proto parametrické rovnice té sféry standardně:

(1) $x \,= \,a \,\cos \varphi \,\cos \psi$ , $y \,= \,a \,\sin \varphi \,\cos \psi$ , $z \,= \,a \,\sin \psi$ , kde $\varphi \in [0, \,2\pi)$ , $\psi \in \[-\frac{\pi}{2}, \,\frac{\pi}{2}\]$ .

Nyní si všiměme té roviny řezu. Aby v její rovnici

(2) $y = x\,\tan\alpha$

byla definována hodnota $\tan\alpha$ , musí být navíc $\alpha\ne \frac{\pi}{2}$ , tedy celkem $\alpha\in $0,\,\pi$ -\{\frac{\pi}{2}\}$ .

Jestliže bod sféry (1) leží zároveň v rovině (2), pak hodnoty jeho parametrů $[\varphi, \,\psi]$ splňují rovnici

$a \,\sin \varphi \,\cos \psi \,= \,a \,\cos \varphi \,\cos \psi \,\tan\alpha$ ,

po úpravě

(3) $\cos\psi\,(\sin\varphi\,-\,\cos\varphi\,\tan\alpha) \,=\, 0$ .

Body splňující rovnici $\cos\psi = 0$ nejsou pro další výpočet zajímavé (jde o dva průsečíky sféry (1) s osou z) , proto je z dalších úvah vyloučíme,
tím z (3) dostáváme rovnici

(4) $\sin\varphi\,-\,\cos\varphi\,\tan\alpha \,=\, 0$ .

V případě $\cos\varphi = 0$ bychom dostali body průniku sféry (1) s rovinou Pyz , z nichž na naší křivce leží tytéž dva body, které jsme již vyloučili výše.
Z (4) pro $\cos\varphi \ne 0$ snadnou úpravou dostáváme $\tan\varphi\,=\,\tan\alpha$ , což dává dvě řešení $\varphi_0 = \alpha$ , $\varphi_1 = \alpha +\pi$ . Zvolme to první z nich
(druhé řešení by dalo obdobný výsledek) a dosaďme ho do rovnic (1) za $\varphi$ . Dostaneme

$x \,= \,a \,\cos \alpha \,\cos \psi$ , $y \,= \,a \,\sin \alpha \,\cos \psi$ , $z \,= \,a \,\sin \psi$ , kde $\psi \in \[-\frac{\pi}{2}, \,\frac{\pi}{2}\]$ .

To jsou parametrické rovnice jistého oblouku $\Gamma_1$ , který je částí hledané křivky. Druhý oblouk $\Gamma_2$ uzavírající hledanou křivku bude popsán
týmiž rovnicemi při podmínce $\psi \in \[\frac{\pi}{2}, \,\frac{3\pi}{2}\]$ .

Celá naše uzavřená křivka $\Gamma =\Gamma_1 \,+\, \Gamma_2$ (míněno tím spojení křivek) bude tedy mít parametrický popis

$\Gamma$ : $x \,= \,a \,\cos \alpha \,\cos \psi$ , $y \,= \,a \,\sin \alpha \,\cos \psi$ , $z \,= \,a \,\sin \psi$ , kde $\psi \in \[-\frac{\pi}{2}, \,\frac{3\pi}{2}\]$ .

V závislosti na hodnotě úhlu $\alpha$ pak případně doladíme (např. vhodnou substitucí parametru) orientaci té křivky tak, aby bylo naplněno zadání.

Sestavit a vypočítat odpovídající integrál přes tuto křivku by už měla být celkem rutinní záležitost.

lotoss · 09. 12. 2010 20:22

dobre dik takze teraz mam dosadit $x \,= \,a \,\cos \alpha \,\cos \psi$ , $y \,= \,a \,\sin \alpha \,\cos \psi$ , $z \,= \,a \,\sin \psi$ do integralu, siloveho pola
w(x,y,z)= (y-z, z-x, x-y) a v integrali to nasobit este drivaciami dx,dy,dz?

Rumburak

↑ lotoss:
Ano, přesně podle obecného vzorce

$A =\int_{\Gamma}\vec{F}\,\text{d}\vec{r} \,= \int_{\Gamma}(F_x\text{d}x \,+\, F_y\text{d}y \,+\, F_z\text{d}z) \,= \,\int_{-\frac{\pi}{2}\,}^{\,\frac{3\pi}{2}}\,$F_x(\psi)x'(\psi)\,+\,F_y(\psi)y'(\psi)\,+\,F_z(\psi)z'(\psi)$\,\text{d}\psi$ ,

kde v našem případě je $\vec{F}\,=\,(F_x,\,F_y,\,F_z)\,=\, (y-z, \,z-x, \,x-y)\,=\,...$ atd.

lotoss · 11. 12. 2010 11:13

super diky moc vypocitane a vyslo mi to hlavne :D

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2010 20:06

Vypocet prace telesa v silovem poli

#2 07. 12. 2010 20:12

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#3 07. 12. 2010 20:22 — Editoval lotoss (07. 12. 2010 21:55)

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#4 07. 12. 2010 21:23

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#5 08. 12. 2010 16:43

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#6 08. 12. 2010 17:13 — Editoval Rumburak (08. 12. 2010 17:14)

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#7 08. 12. 2010 17:53

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#8 08. 12. 2010 18:43

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#9 09. 12. 2010 10:09 — Editoval Rumburak (09. 12. 2010 13:19)

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#10 09. 12. 2010 20:22

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#11 10. 12. 2010 09:41 — Editoval Rumburak (10. 12. 2010 10:41)

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

#12 11. 12. 2010 11:13

Re: Vypocet prace telesa v silovem poli

Zápatí