Matematické Fórum

safm · 13. 12. 2010 15:44

Zdravím,
potřeboval bych objasnit, jak se postupuje, při hledání pratikulárního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, když je na pravé straně exponenciální část * goniometrická část.
Mám konkrétní zadání: $y\prime\prime + 2y\prime + y = x \cdot e^x \cdot cosx$
v homogenní části řešení vyjde dvojnásobný kořen: $\lambda_{1,2} = -1$
z výsledků vím, že by partikulární řešení mělo vyjít: $y_p = (Ax + B)e^x (Ccos x + Dsin x)$
to pak bylo upraveno na tento tvar: $e^x (Axcos x + Bxsin x + C cos x + Dsin x)$
derivace a zjištění konstant dál bych zvládl... Problém je v tom, že nevím jak zjistit to partikulární řešení a už vůbec nemůžu pochopit tu úpravu
chtěl bych nějak vycházet z tohoto vzorce: $y_p = x^k \cdot e^{\alpha x} \cdot (R(x)cos\beta x + S(x)sin\beta x)$
zjistil jsem, že $\alpha = 1, \beta = 1, k = 0$ a nejvyšší stupeň polynomu je 1. Může mi někdo srozumitelně poradit? S diferenciálníma rovnicema teprve začínám. Děkuju.

Honzc · 14. 12. 2010 08:53 — Editoval Honzc (15. 12. 2010 07:08)

↑ safm:
Partikulární řešení se odvíjí od tvaru pravé strany LDR.
Nejlepší je rozebrat ten tvůj poslední tvar partikulárního řešení (To co jsi vypozoroval je sice dobře, ale trochu zavádějící)
Vztah pro partikulární řešení $y_p = x^k \cdot e^{\alpha x} \cdot (R(x)cos\beta x + S(x)sin\beta x)$ říká asi následující: (přitom $R(x),S(x)$ jsou polynomy)
Podle tvaru pravé strany LDR můžeme předpokládat tvar partikulárního řešení úplné LDR
Tedy je-li na pravé straně nějaký polynom, bude i v $y_p$ polynom stejného stupně.
Je-li na pravé straně $e^{\alpha x}$ , bude i v $y_p$ to stejné.
Je-li na pravé straně $cos\beta x$ , nebo $sin\beta x$ bude i v $y_p$ lineární kombinace $cos\beta x$ a $sin\beta x$
Dále o tom, zda tam bude člen $x^k$ rozhoduje, zda kořen charakteristické rovnice $a{\pm}bi$ je k-násobným kořenem, tedy zda $\lambda=\alpha{\pm}\beta i$

Pro náš případ $\alpha = 1, \beta = 1, k = 0$ a $\lambda_{1,2} = -1$ můžeme předpokládat tvar $y_p$ takový:
$y_p = e^x((Ax+B)cos x +(Cx+D)sin x)$

Po editaci
Ještě přidám celkem přehledný tvar partikulárních řešení podle tvaru pravé strany LDR