Matematické Fórum

xiom · 19. 04. 2008 19:26

Mohl by mi to někdo krok po kroku vysvětlit (postup).

y´*x=y+x^2*(6+e^x)
urči y(3)=??? když y(1)=e

Mockrát dík, mám to ke zkoušce a už hoří poslední termíny...

Jorica · 19. 04. 2008 19:42

↑ xiom:
pokusim se, ale chvili potrva, nez to natukam ;-)

plisna · 19. 04. 2008 19:48 — Editoval plisna (19. 04. 2008 19:49)

$y' = \frac{1}{x}y + 6x + x\mathrm{e}^x$

jedna se o obycejnou linearni diferencialni rovnici prvniho radu. v prvnim kroku resime homogeni cast:

$y' = \frac{1}{x}y\nl \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}y\nl \frac{\mathrm{d}y}{y} = \frac{\mathrm{d}x}{x} \quad\text{integrujeme}\nl \ln |y| = \ln |x| + \ln |C|\nl y_h = Cx$

provedeme variaci konstanty a reseni puvodni nehomogenni rovnice hledame ve tvaru $y = C(x) x$ :

$y = C(x) x\nl y' = C'(x) x + C(x)$

dosadime do puvodniho zadani:

$C'(x) x + C(x) = \frac{1}{x} C(x) x + 6x + x\,\mathrm{e}^x\nl C'(x) = 6 + \mathrm{e}^x\nl C(x) = \int 6 + \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x = 6x + \mathrm{e}^x + C$

a vratime se zpet k variaci:

$y = C(x) x = (6x + \mathrm{e}^x + C)x = Cx + 6x^2 + x\,\mathrm{e}^$

zkus si sam vypocitat partikularni reseni ze zadane PP

robert.marik · 19. 04. 2008 20:07

http://old.mendelu.cz/~marik/maw/index.php?form=ode
a prava strana rovnice je y/x+x*(6+e^x)
primy odkaz je http://wood.mendelu.cz/math/maw/ode/ode … ko=Odeslat

Jorica · 19. 04. 2008 20:37 — Editoval Jorica (19. 04. 2008 20:41)

Vidim, ze nez jsem vykoupala a uspala dite, tak me Robert a plisna uz predbehli...dobra, beru to jako rozcvicku sazby v TEXu a hlavne rozcvicku mozkovych zavitu, protoze je to uz par let, co jsem tohle resila :-D

$y^,x=y+x^2$6+e^x$$

prevedu y doleva a celou rovnici vydelim x

$y^,-\frac y x=x$6+e^x$$

Ted je ze zadani videt, ze se jedna o uplnou diferencialni rovnici 1. radu, ktera se obecne zapisuje ve tvaru:
$y^,+p(x)\cdot y=q(x)$
V nasem pripade je $p(x)=-\frac 1 x$ a $q(x)=x$6+e^x$$

Nejprve vyresis zkracenou diferencialni rovnici (tj. rovnici, kde $q(x)=0$ )

V nasem pripade $y^,-\frac y x=0$ a najdeme reseni zkracene rovnice (za pojmy nerucim, tohle jsem uz par let nevidela) a znaci se s pruhem nebo vlnovkou.....to ale neumim vysazet v TEXu, takze ja to oznacim $y^*$ .

Tohle nekdo resi separaci promennych a nekdo k tomu pouziva vzorec, ktery je prave na zaklade separace odvozen. Udelam to podle vzorce:

$y^*=C\cdot e^{-\int p(x)dx}=C\cdot e^{\int \frac 1 x dx}=C\cdot e^{ln |x| }=C\cdot x$
(pri integraci konstantu nepisu, vzorec uz ji obsahuje)

Tak na zaklade tohoto reseni zkracene rovnice hledame reseni uplne rovnice ve tvaru

$y=C(x)\cdot x$ , (tzv. variace konstanty) kde $C(x)$ je zatim neznama funkce.

Tvar reseni $y=C(x)\cdot x$ derivujeme podle x (jako soucin) $y^,=C^,(x)\cdot x+C(x)$ a vse dosadime do puvodni diferencialni rovnice

$(C^,$x$\cdot x+C(x))\cdot x=C(x)\cdot x+x^2$6+e^x$$
$C^,$x$\cdot x^2+C(x)\cdot x=C(x)\cdot x+x^2$6+e^x$$

Odtud po uprave pro hledanou fci $C(x)$ plati diferencialni rovnice

$C^,(x)=6+e^x$

Tu resis primo integraci...nezapomenout na integracni konstantu

$C(x)=\int{(6+e^x) dx}=6x+e^x+C$

Takto nalezenou konstantu $C(x)$ dosadis do predpokladaneho reseni $y=C(x)\cdot x$ .

Odtud

$y=(6x+e^x+C)\cdot x=6x^2+xe^x+Cx$

To je obecne reseni yadane diferencialni rovnice.

Nyni dosadis podminku $y(1)=e$

$e=6+e+C$ , odtud C=-6

Partikularni reseni ma tvar

$y_p=6x^2+xe^x-6x=6x(x-1)+xe^x$

A ted uz jen dosadis $x=3$ a vypoctes $y(3)$

$y_p(3)=6\cdot 3(3-1)+3e^3=36+3e^3$ .

Ufff, no tukala jsem to primo sem, takze za bezchybnost nerucim :-o Rovnez se omlouvam za nepresnosti v sazbe TEXu, ale to casem dopiluju :-)