Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 03. 01. 2011 11:23 — Editoval datoby (03. 01. 2011 11:35)
Moivreova veta
Ahoj, poradil by mi prosim někdo jak řešit 
pomocí moivrteovy věty abychom vypočítali "z na sedmou" a "sedmou odmocninu z"
Prošel jsem různé fora, wikipedii, ale nic moc jsem z toho nepochopil. Děkuji za radu
// Omlouvám se za ten zápis, ale nevěděl jsem jak na to
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) jelena)
#2 03. 01. 2011 13:21
Re: Moivreova veta
Abychom mohli použít Moivreovu větu, musíme číslo 
dříve převést do goniometrického (neboli polárního) tvaru.
Offline
#3 03. 01. 2011 13:44 — Editoval easy (03. 01. 2011 13:47)
Re: Moivreova veta
Zdravím,![$z = -2\sqrt{3} + 2i \nl |z| = \sqrt{12+4} = 4 \nl arg(z) = Arctan(\frac{2}{-2\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6} \nl -2\sqrt{3} + 2i = 4[cos(\frac{5\pi}{6})+i sin(\frac{5\pi}{6})]$](/mathtex/23/239f03ecbc22b3e5f6e5519bf3cda77d.gif "kopírovat do textarea")
Nyní použiji Moivreovu větu.![$ {(-2\sqrt{3} + 2i)}^7 = 4^7 {[cos(\frac{5\pi}{6}+2\pi n)+i sin(\frac{5\pi}{6}+2\pi n)]}^7 \nl = 4^7 {[cos(\frac{35\pi}{6}+14\pi n)+i sin(\frac{35\pi}{6}+14\pi n)]} $](/mathtex/ff/ff472e88aeb3a323af3cd05a6e21f002.gif "kopírovat do textarea")
K argumentu jsem přidal 
abych mohl najít všech 7 řešení.
Teď už jen stačí dosadit za 
aby jsi dostal všechna řešení. Zbytek už zvládneš. Obdobný postup použiješ pro z^(1/7)
Computer Science at University of Edinburgh
Offline
#5 03. 01. 2011 14:18
#6 03. 01. 2011 14:20 — Editoval Rumburak (03. 01. 2011 14:51)
Re: Moivreova veta
Pro "z na sedmou":
Toto ![$z = -2\sqrt{3} + 2i \nl|z| = \sqrt{12+4} = 4 \nlarg(z) = Arctan(\frac{2}{-2\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6} \nl-2\sqrt{3} + 2i = 4[cos(\frac{5\pi}{6})+i sin(\frac{5\pi}{6})]$](/mathtex/0c/0c996f00a311707487e66e489e569b07.gif "kopírovat do textarea")
je ještě správně. Následně - vzhledem k tomu, že exponent 7 je celé číslo - stačilo provést ![${(-2\sqrt{3} + 2i)}^7= 4^7 {[cos(\frac{5\pi}{6})+i sin(\frac{5\pi}{6})]}^7 = 4^7 {[cos(\frac{7\cdot 5\pi}{6})+i sin(\frac{7\cdot 5\pi}{6})]} = \nl = 4^7 {[cos(\frac{35\pi}{6})+i sin(\frac{35\pi}{6})]} = 4^7 {[cos(6\pi - \frac{\pi}{6})+i sin(6\pi - \frac{\pi}{6})]} = \nl = 4^7 {[cos( - \frac{\pi}{6})+i sin( - \frac{\pi}{6})]} = ... $](/mathtex/98/984cd68caaa0bd9f287b0b6dd3381bc0.gif "kopírovat do textarea")
atd., dalšího návodu jistě netřeba. Toto řešení je jediné - ta další, o nichž je uvažováno v postupu od kolegy ↑ easy:,
již nedávají nic nového (vlivem periodicity funkcí sin, cos) .
Nalézt v komplexním oboru sedmou odmocninu pak znamená vyřešit odpovídající binomickou rovnici .
Offline
#7 03. 01. 2011 14:56
Re: Moivreova veta
↑ Rumburak:
Ano, v tomto případě bude řešení vlastně jen jedno, spíše mi šlo o to, aby datoby vědel, jak počítat tento typ příkladů.
Computer Science at University of Edinburgh
Offline