Matematické Fórum

barka123 · 05. 01. 2011 14:37

Cau, potrebuju prosim pomoc s timto prikladem: 4x^2+4y^2+2x-4y-15=0, P=[2;0]
Je potreba uvest vsechny charakteristiky dane kuzelosecky a z bodu P udelat tecny k dane kuzelosecce.
Jste moje posledni zachrana. Predem mockrat dekuji.

Cheop · 05. 01. 2011 15:45 — Editoval Cheop (05. 01. 2011 17:18)

↑ barka123:
1) Určíme co je to za kuželosečku - převedeme rovnici na středový tvar:
$4x^2+4y^2+2x-4y-15=0\nlx^2+y^2+\frac x2-y-\frac{15}{4}=0\nl\left(x+\frac 14\right)^2-\frac{1}{16}+\left(y-\frac 12\right)^2-\frac 14-\frac{15}{4}=0\nl\left(x+\frac 14\right)^2+\left(y-\frac 12\right)^2=\frac{65}{16}$
Kuželosečka je kružnice
2) Střed kružnice je: $S=\left(-\frac 14;\,\frac 12\right)$
3) Poloměr kružnice: $r^2=\frac{65}{16}\nlr=\frac{\sqrt{65}}{4}$
4) Tečny ke kružnici z bodu P=(2,0)
Rovnice bude:
$y=kx+q$ - dosadíme souřadnice bodu P tj:
$0=2k+q\nlq=-2k$
Rovnice tečen bude:
$y=kx-2k$ - toto dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme:
$4x^2+4(kx-2k)^2+2x-4(kx-2k)-15=0$ - úpravou
$4x^2(k^2+1)-x(16k^2+4k-2)+16k^2+8k-15=0$ - toto je kvadratická rovnice a aby hledaná přímka byla tečnou, potom
diskriminant kv. rovnice musí být = 0 (je to tečna - 1 společný bod) tedy:
$(16k^2+4k-2)^2-16(k^2+1)(16k^2+8k-15)=0$ - úpravou dospějeme ke kvadratické rovnici:( a vypočítáme k)
$16k^2+36k-61=0\nlk_1\dot=1,12847\nlk_2\dot=-3,37847$
k_1 resp k_2 dosadíme do předpisu tečny tj pro k_1:
$y=kx-2k\nly=1,12847x-2,2569$
pro k_2:
$y=-3,37847x-2\cdot(-3,37847)\nl3,37847x+y-6,757=0$

Shrnutí:
a) uvedená kuželosečka je kružnice
b) střed kružnice je $S=\left(-\frac 14;\,\frac 12\right)$
c) poloměr kružnice je: $r=\frac{\sqrt{65}}{4}$
d) rovnice tečen z bodu P (2,0) jsou:
$t_1:\,y=1,12847x-2,2569$
$t_2:\,3,37847x+y-6,757=0$
To by mělo být vše.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PS: možná by ještě chtělo dopočítat souřadnice tečných bodů (to už zvládneš)

barka123 · 05. 01. 2011 20:00

↑ Cheop:
Děkuji mockrát, právě jsi mě zachránil od propadnutí, ještě jednou tisíckrát díky :))

syskey · 05. 01. 2011 20:47 — Editoval syskey (05. 01. 2011 20:48)

↑ barka123:
k te tecne: elegantnejsi reseni by mohlo vypadat takto:
obecny zapis rovnice tecny ke kruznici: $(x_1-m)(x-m)+(y_1-n)(y-n)=r^2$ ,
kde $x_1$ a $y_1$ jsou souradnice bodu dotyku (v tomto pripade P) a $x$ a $y$ jsou souradnice jakehokoliv bodu leziciho na tecne a $m$ a $n$ jsou souradnice stredu.
Po dosazeni:
$(2+\frac14)(x+\frac14)+(0-\frac12)(y-\frac12)=\frac{65}{16}$
$\frac94x+\frac{9}{16}-\frac12y+\frac14=\frac{65}{16}$ $/*16$
$36x+9-8y+4=65$
$36x-8y-56=0$
$9x-2y-14=0$

Cheop · 05. 01. 2011 20:52 — Editoval Cheop (06. 01. 2011 19:52)

↑ syskey:
Takto nezískáš tečny, ale přímku, která prochází tečnými body.
Dále by se musely spočítat souřadnice tečných bodů jako průsečík kružnice a té přímky.
Rovnice tečen by pak byly přímky, které by procházely body dotyku a bodem P.
Jdu vyzkoušet zda je tento postup rychlejší.
PS ve svém výpočtu máš malinkou chybku:
Rovnice přímky je:
$9x-2y-13=0$

Edit:
Ten Tvůj způsob je rychlejší.
Dotaz: Předpokládám, že výpočet té sečny platí pouze pro kružnici?
Ne, platí i pro elipsu.

barka123 · 05. 01. 2011 22:08

↑ Cheop:
Děkuji mockrát, právě jsi mě zachránil od propadnutí, ještě jednou tisíckrát díky :))

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2011 14:37

kuželosečky

#2 05. 01. 2011 15:45 — Editoval Cheop (05. 01. 2011 17:18)

Re: kuželosečky

#3 05. 01. 2011 20:00

Re: kuželosečky

#4 05. 01. 2011 20:47 — Editoval syskey (05. 01. 2011 20:48)

Re: kuželosečky

#5 05. 01. 2011 20:52 — Editoval Cheop (06. 01. 2011 19:52)

Re: kuželosečky

#6 05. 01. 2011 22:08

Re: kuželosečky

Zápatí