Matematické Fórum

lukaszh · 07. 01. 2011 18:56

Z Fourierovho zákona je pre tepelný tok

$\vec{q}=-k\nabla T(\vec{x},t)$

Vo Feynmanovych prednáškach som našiel pre jednorozmerný prípad takúto rovnicu

$\frac{1}{A}\cdot\frac{\rm{d}Q}{\rm{d}t}=-k\frac{\rm{d}T}{\rm{d}x}$

A je "jednotková plocha". To je ekvivalentné tomu prvému vyjadreniu v jednorozmernom prípade. Funkciu Q teda chápem len s časovou premennou. V knihe sa to nekonkretizuje. Druhá otázka, ako sa toto rozšíri do troch rozmerov? Teplo nie je vektorová veličina. Na Wikipédii používajú tento vzťah len pre 1-D a pre 3-D používajú integrálny tvar

$\frac{\partial Q}{\partial t} = -k\oint_S{\nabla T \cdot \,\vec{\rm{d}A}}$

medvidek · 09. 01. 2011 02:41

↑ lukaszh:
Myslím, že Q chápeš dobre. V prostrednom vzťahu Q nie je funkciou x, v poslednom vzťahu Q nie je funkciou priestorových súradníc. Predstavuje celkovú tepelnú energiu v objeme ohraničenom uzavrenou plochou S. Nedával by som tam symboly pre parciálnu deriváciu.

K prechodu 1D/3D.
Pri vhodne zvolenej sústave súradníc (x v smere gradientu T) je druhý vzťah x-komponentou prvého. Akurát hustota tepelného toku je zapísaná trochu inak.

Vo Wikipédii je aj integrálny tvar pre 1D prípad.

Ale pochopil som dobre, o čo ti šlo?

lukaszh · 09. 01. 2011 18:30

↑ medvidek:

Ja som viacmenej potreboval vedieť, že v 1D máme

$\frac{1}{A}\cdot\frac{\rm{d}Q}{\rm{d}t}=-k\frac{\rm{d}T}{\rm{d}x}$

A v 3D máme čo

$\frac{1}{A}\cdot ???=-k\nabla T$

Pretože na pravej strane je vektor, na ľavej strane musí byť tiež. Ale Q nie je vektorová velična. Preto ma zaujíma, že vo viacerých rozmeroch sa píše všeobecne len q na ľavú stranu ako tepelný tok, alebo integrálny tvar pomocou Q.

medvidek · 10. 01. 2011 04:53

↑ lukaszh:
Zapísal by som to skôr takto:

1D:
$\frac{\rm{d}Q}{\rm{d}t}=-k\frac{\rm{d}T}{\rm{d}x} \cdot A$ ,
kde $A$ je plocha orientovaná v smere osi $x$ a $\frac{\rm{d}Q}{\rm{d}t}$ je výkon tečúci touto plochou.

3D:
$\frac{\rm{d}Q}{\rm{d}t}=-k\nabla T \cdot \vec A$ ,
kde $\vec A$ je ľubovoľne orientovaná plocha a $\frac{\rm{d}Q}{\rm{d}t}$ je výkon tečúci touto plochou. Je vidieť, že tento výkon závisí na orientácii $\vec A$ .

V 1D prípade možno $A$ preniesť na ľavú stranu rovnice a hovoriť potom o výkone pripadajúcom na jednotkovú plochu, tj. o hustote tepelného toku.
V 3D prípade máme na pravej strane skalárny súčin. Pokiaľ je orientovaná plocha $\vec A$ jednotková, rovnica určuje projekciu hustoty tepelného toku do smeru $\vec A$ . Za $\vec A$ môžeme postupne dosadiť jednotkové vektory $\vec i$ , $\vec j$ , $\vec k$ a dostaneme komponenty vektoru hustoty tepelného toku $\vec q$ .

Ale nemlátim tu náhodou prázdnu slamu?

pietro · 10. 01. 2011 15:02

↑ medvidek:V žiadnom ohľade sa z Tvojej strany nemôže jednať o definovaný poľnohospodársky výkon.
Rád čítam Tvoje príspevky, sú pre mňa poučné!

Keď som surfoval tento problém podelím sa s Vami na čo som narazil:

MIT

LAPLACE

diplomka

Spomínam si, že sa táto rovnica riešila pomocou Laplaceovej transform. ako sústava s tzv. rozloženými parametrami. Výsledkom bolo potom jednoznačné dynamické- teplotné správanie sa akéhokoľvek bodu v priestore. V ustálenej sústave bola teplota všade rovnaká a násilím sme ju v nejakom bode zvýšili a trvale držali teplotu o rovnaké delta T a mali sme rovnice, ktoré popisovali správanie sa v čase kde sme len v 3D zadali. ( Len neviem to vo svojom 3d vyhrabať..zatiaľ)..

Ďalej ma zaujala podobnosť s iným zákonom podobnosť

No ale som asi odbočil...

lukaszh · 10. 01. 2011 15:43

↑ medvidek:

Fantázia, už mi to hrá v hlave. Ďakujem.

↑ pietro:

Hej, vedenie tepla a difúzia sú podobné. Podľa Fouriera odvodil Fick zákon pre difúzny tok. Niekde som to čítal. Túto tému riešim práve kvôli PDR, ktorú spomínaš.

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2011 18:56

Teplo, tepelný tok

#2 09. 01. 2011 02:41

Re: Teplo, tepelný tok

#3 09. 01. 2011 18:30

Re: Teplo, tepelný tok

#4 10. 01. 2011 04:53

Re: Teplo, tepelný tok

#5 10. 01. 2011 15:02

Re: Teplo, tepelný tok

#6 10. 01. 2011 15:43

Re: Teplo, tepelný tok

Zápatí