Matematické Fórum

b.r.o.z1 · 08. 01. 2011 13:00

Zdravím všechny mat. nadšence.

Potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:
Jsou dány kružnice $x^2+y^2=16$ a $x^2+y^2-16x+60=0$ . Napište rovnici společných tečen. Úlohu řešte i konstruktivně.(Návod: hledaná tečna je tečnou první kružnice a zároveň má tato přímka od středu druhé kružnice vzdálestno rovnu jejímu poloměru.)

Konstrukce je bez problémů, ale u výpočtu nějak nevím, kde začít. Nechci to vyřešit, spíše bych potřeboval nakoupnout v prvních krocích a pak si to dopočítám. Ani návod od naší učitelky mi nepomohl.:-(

Moc děkuju za každý nápad řešení:-)

jelena · 08. 01. 2011 15:05

Zdravím,

pokud nebude lepší nápad od kolegů, tak:

napiší vzorec vzdálenosti přímky (společné tečny) ax+by+c=0 od středu jedné a druhé kružnice. Mám 3 neznamé a, b, c, ale 2 rovnice (pro každá střed).

Třetí rovnici doplním tak, že z podobnosti trojůhelníků, co tvoří poloměry, tečna a přímka spojující středy kružnic, mohu určit souřadnici bodu průníku těchto přímek. Tento bod leží na společné tečně a mohu dosadit do ax+by+c=0.

Předpokládám, že derivace, ani nis podobného používat nemůžete. Je možné, že někdo z kolegů navrhne něco více použitelného. Děkuji.

b.r.o.z1 · 08. 01. 2011 15:17

↑ jelena:
děkuji jeleno:-) ještě počkám na další, nechce se mi věřit, že by naše geniální učitelka, chtěla takto náročný postup.:-) ale moc děkuji:-)

jelena · 08. 01. 2011 15:18

↑ b.r.o.z1: vzhledem k tomu, že souřadnice středů takové, jaké jsou, tak bych to neviděla moc náročně. Ale také si počkám na další nápady. Děkuji.

Pavel · 08. 01. 2011 15:57 — Editoval Pavel (08. 01. 2011 15:58)

↑ jelena:

Co tak využít stejnolehlosti? Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé.

1. Máme zadány dvě kružnice k1(S1,r1) a k2(S2,r2). Všechny údaje lze z obecných rovnic kružnice určit.

2. Zvolme libovolný bod A, který leží na kružnici k1 a který neleží na přímce procházející středy S1 a S2 - zvolíme x-ovou souřadnici, y-ová se dopočítá tak, aby rovnice byla splněna

3. Vytvořme rovnici přímky 'p' procházející bodem A a středem S1 kružnice k1 - oba body známe, obecná rovnice se určí jednoduše

4. Vytvořme rovnici přímky 'q', která je rovnoběžná s přímkou 'p' a prochází středem S2 druhé kružnice k2 - známe směrový vektor přímky 'p' a bod S2, kterým má přímka 'q' procházet

5. Určeme průsečíky přímky 'q' a kružnice k2 - B1 a B2. - známe obecné rovnice kružnice k2 a přímky 'q' - není problém určit průsečíky

6. BÚNO: Zvolme jeden z průsečíků, např. B1. Vytvořme rovnici přímky 'v' procházející bodem A a B1 - známe souřadnice obou bodů

7. Vytvořme rovnici přímky 'w' spojující středy S1 a S2 obou kružnic - známe souřadnice obou bodů

8. Určeme průsečík obou přímek 'v' a 'w' - bod C - známe obecné rovnice obou přímek

9. Bod C je hledaný střed stejnolehlosti. Bodem C budou procházet hledané tečny.

10. Nyní stačí určit rovnice tečny (budou 2) ke kružnici k1 nebo k2, která prochází bodem C.

11. Vraťme se k bodu č. 6 a vyberme nyní průsečík B2 - opakujme kroky 7. - 10.

12. Získáme další dvě tečny.

jelena · 08. 01. 2011 16:10

↑ Pavel: děkuji.

Stejnolehlost využívám v kroku:

Jelena napsal(a):
Třetí rovnici doplním tak, že z podobnosti trojůhelníků, co tvoří poloměry, tečna a přímka spojující středy kružnic, mohu určit souřadnici bodu průníku těchto přímek. Tento bod leží na společné tečně a mohu dosadit do ax+by+c=0.

Ale uznávám, je to spíš krok geometrický, než analyticko-geometrický. Teď si uvědomuji, že jsem se asi s takovou úlohou ještě nesetkala (kombinace konstrukce + analýtika).

Děkuji za pomoc a zdravím.

Cheop · 08. 01. 2011 16:25

↑ jelena:
A nestačilo by toto:
Posunout střed kružnice $x^2+y^2=16$ do bodu S(2,0) tj. rovnice bude $(x-2)^2+y^2=16$
Určit průsečík kružnic:
$x^2+y^2=16\nl(x-2)^2+y^2=16$ = bod dotyku T(x_0; y_0)
a pak rovnici tečny určit jako:
$(x_0-m)(x-m)+(y_0-n)(y-n)=r^2$
Když to takto udělám tak mi vychází:
$t_1:\,x+sqrt{15}y-16=0\nlt_2:\,x-sqrt{15}y-16=0$
Obrázek:

zdenek1

↑ b.r.o.z1:
$k_2:(x-8)^2+y^2=4$

hledáme tečnu ve tvaru $t:y=kx+q$ . Přepíšeme: $t:kx-y+q=0$
Použijeme vztah pro vzdálenost bodu od přímky, který uvádí Jelena
$|S_1,t|=\frac{|q|}{\sqrt{k^2+1}}=4$
$|S_2,t|=\frac{|8k+q|}{\sqrt{k^2+1}}=2$

Z první rovnice $|q|=4\sqrt{k^2+1}$ dosadíme do druhé
$|8k\pm4\sqrt{k^2+1}|=2\sqrt{k^2+1}$
$|4k\pm2\sqrt{k^2+1}|=\sqrt{k^2+1}$

Což vede na 4 rovnice
$4k+2\sqrt{k^2+1}=\sqrt{k^2+1}$
$4k+2\sqrt{k^2+1}=-\sqrt{k^2+1}$
$4k-2\sqrt{k^2+1}=\sqrt{k^2+1}$
$4k-2\sqrt{k^2+1}=-\sqrt{k^2+1}$
které prostě vyřešíš

Mělo by vyjít: (nepíšu to ve stejném pořadí jako rovnice)
$y=\frac1{\sqrt{15}}(x-16)$
$y=\frac1{\sqrt{15}}(16-x)$
$y=\frac1{\sqrt{7}}(3x-16)$
$y=\frac1{\sqrt{7}}(16-3x)$