Matematické Fórum

halogan · 09. 01. 2011 13:35

Dobré odpoledne přeji,

už se několikátou hodinu peru s testováním hypotéz a mám jeden dost základní problém: nějak si nedokážu intuitivně odůvodnit, proč se dělá co. Abych byl přesnější, tak se mi nedaří stanovovat kritické obory nějak obecně ze zadání. Nechce se mi pamatovat, že pro jednostranné testy musí platit to a to, pro oboustrané něco jiného, ...

Rád bych si vzal pravděpodobnostní funkci, pohrál si s ní trochu a chci, aby mi vypadlo něco srozumitelného. Jsou to pro mě dost abstraktní pojmy, takže všechno musím vztahovat na nějaké úlohy. Mějme třeba tuto:

"It is claimed that sports-car owners drive on the average 18000 miles per year. A consumer firm believes that the average mileage is lower and obtained information from 40 randomly selected sports-car owners that resulted in a sample mean of 17463 miles with sample standard deviation of 1348 miles. What can we conclude about this claim? Use $\alpha = 0.01$ "

Nějak se mi nedaří sestavit ani tu prvotní funkci, ze které bych něco odvodil (nějak to standardizovat na normální rozdělení). Dost se mi ty pojmy pletou, tak nevím, kde přesně začít.

---

(Vypadá to, že u většiny úloh se určí testová statistika, která se pak porovná s tím kritickým oborem. Svým postupem bych tedy šel docela velkou oklikou k výsledku. Možná se tedy spokojím s nějakým intuitivním vysvětlením odvození těch kritických oborů v závislosti na typu testu.)

---

Děkuji za každou radu.

lukaszh · 09. 01. 2011 15:29

↑ halogan:

Predstav si, že máš dve hypotézy o strednej hodnote. Prvá je, že skutočná stredná hodnota je menej ako 18 000 a druhá je, že stredná hodnota je viac ako 18 000. Chceme určiť platnosť prvej hypotézy zo vzorky 40 pozorovaní. Túto hypotézu zamietneme, ak nameraný "priemer" by bol "omnoho väčší" ako 18 000. To znamená, že sme namerali napríklad priemer 254 000, preto je to značne "veľké" a hypotézu, že skutočná stredná hodnota je menej ako 18 000 už intuitívne môžeme zamietnuť.

To či je niečo veľké, alebo malé sa robí pomocou testovacích štatistík. Hypotézu teda zamietame, ak

$\overline{X}>>18\,000\Rightarrow\overline{X}-18\,000>>0$

Aby sme mohli určiť, či je niečo omnoho väčšie, alebo omnoho menšie ako nula, ešte to predelíme št. odchýlkou 1 348/sqrt(40).

$\frac{\overline{X}-18\,000}{\frac{1\,348}{\sqrt{40}}}>>0$

Dá sa ukázať, že táto testovacia štatistika, za predpokladu, že X je výber z normálneho rozdelenia, má t-rozdelenie s n - 1 stupňami voľnosti. Za kritické, budeme považovať tie hodnoty testovacej štatistiky, ktoré prekročia 99%-ný kvantil, resp. 1%-nu kritickú hodnotu.

$\frac{\overline{X}-18\,000}{1\,348}\sqrt{40}>t_{1%}$

Hodnota testovacej štatistiky je

$\frac{17\,463-18\,000}{1\,348}\sqrt{40}=-2.51$

Lenže tá kritická hodnota, bez počítania bude kladná. Hodnota tejto testovacej štatistiky zrejme nepresiahne kladnú kritickú hodnotu, preto hypotézu príjmeme.

Toto bol jednostranný jednovýberový t-test. Ak by si testoval hypotézu s rovnosťou, teda že skutočná stredná hodnota je rovná 18 000, tak ide o obojstranný t-test. Vtedy hypotézu zamietame, ak je výberový priemer "omnoho" väčší, alebo "omnoho" menší než 18 000. Postup je analogický.

Ak je hodnota štandardnej odchýlky známa, tak testovacia štatistika má normálne rozdelenie. A testujeme s kritickými hodnotami normálneho rozdelenia.

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2011 13:35

Testování hypotéz

#2 09. 01. 2011 15:29

Re: Testování hypotéz

Zápatí