Matematické Fórum

Ebola · 09. 01. 2011 14:15

Zdravím, tak jsem po čase narazil zase na nějaký problematický příklad přes který se mi nedaří přejít a budu hodně vděčný pokud by mě někdo pošťouchnul.

Polohový vektor r hmotného bodu se mění v čase podle rovnice $r(t) = c_1 sin \omega t + c_2 cos \omega t$ , kde $c_1$ a $c_2$ jsou konstantní na sebe kolmé vektory a $\omega$ je kladná konstanta. Jaké je zrychlení hmotného bodu a rovnice jeho trajektorie y(x), jestliže směr vektoru $c_1$ odpovídá orientaci osy x a směr vektoru $c_2$ odpovídá orientaci osy y?

Má úvaha ke které jsem dospěl a na které jsem taky bohužel zkončil:
Vektor má v tomto případě 2 složky. X-ová bude $c_1 sin \omega t$ a Y-ová $c_2 cos \omega t$ . Trochu mě mate to, že omega je konstanta. Jako programátor to možná mohu vnímat trochu jinak. Pokud bych z toho vyhodil ty konstanty tak mi tam zůstane sinus a cosinus a to se už dá celkem snadno představit. Obě složky se budou nafukovat a pak zase zkracovat a měly by tak tvořit elipsu. Narychlo jsem načmáral nákres
Konstanty by podle všeho měly definovat placatost elipsy, resp. délku poloos.

Teď jde o to, jak z toho vektoru r(t) vyrobit zrychlení. Vektor opisuje dráhu, tím pádem bych měl pro zrychlení udělat derivaci druhého řádu? Co mne ovšem zaráží je uvedený výsledek $a = - \omega^2 r$ . Zpětně z výsledku zreplikovat řešení mi dává smysl jen ono -r, protože derivace konst*sinus bude pořád to samé, jen se budou točit periodické funkce a +/-. $r''(t) = - c_1 sin \omega t - c_2 cos \omega t$ což odpovídá -r Rozhodně mi ale vrtá hlavou kde se tam osamostatnila omega, když se tam vyskytuje pouze v sinu a cosinu.

Jenže předpokládám že asi bude potřeba udělat něco jinak. Napadlo mne rozložit vektor na složky a vyjádřit $sin \omega$ pomocí $cos (\frac{\pi}{2}-\omega)$ ale to se mi zdá že vede ještě do větší pasti...

Věděl by někdo jak dál? Předem dík.

LukasM · 09. 01. 2011 15:51

↑ Ebola:
Stačí se naučit derivovat. $(\sin{$\omega t}$)'=\omega\cdot\cos{$\omega t$}$ (čárka značí derivaci podle t).

Ebola · 10. 01. 2011 01:41 — Editoval Ebola (10. 01. 2011 11:35)

áhá, tak jsem to dopočítal... Myslel jsem že to není složená funkce ale téčko je na konci rovnice jako samostatný člen, až teď mi docvaklo že to je složená funkce sin ax = vnější derivovaná * vnitřní (což je a, v našem případě w)

$r'(t) = c_1 \omega cos \omega t - c_2 \omega sin \omega t$
$r''(t) = - c_1 \omega^2 sin \omega t - c_2 \omega^2 cos \omega t$

$a(t) = r''(t) = -\omega^2(c_1 sin \omega t + c_2 cos \omega t)$
$a(t) = -\omega^2 r$

...

$x = c_1 sin \omega t /: c_1$
$y = c_2 cos \omega t /: c_2$

$\frac {x}{c_1} = sin \omega t /^2$
$\underline {\frac {y}{c_2} = cos \omega t /^2}$
$\frac {x^2}{c_1^2} + \frac {y^2}{c_2^2} = sin^2 \omega t + cos^2 \omega t$
$\frac {x^2}{c_1^2} + \frac {y^2}{c_2^2} = 1$ ...což je rovnice elipsy

Díky, vyřešeno :)

EDIT:Překlepy :)

LukasM · 10. 01. 2011 10:35

↑ Ebola:
Mně to vyřešené nepřijde. První časová derivace je pořád špatně, a ta rovnice na konci není rovnicí hyperboly. Ty úvahy ohledně trajektorie nahoře byly správně.

Jinak kdyby t bylo až za tím celým, tak by ten bod nijak neobíhal, protože $\sin{$\omega$},\cos{$\omega$}$ by byly taky jen konstanty, takže bod by se pohyboval po přímce (určené těmi dvěma vektory a omegou) od nuly do nekonečna. K tomu, aby se složky "nafukovaly a zase zkracovaly", jak píšeš, je potřeba, aby t bylo v argumentu těch funkcí. Jinak se budou jen nafukovat.

Ebola · 10. 01. 2011 11:34

↑ LukasM:
Díky za info. Koukal jsem teď do sešitu a já tele jak jsem v TEXu v noci narychlo přepisoval ty rovnice tak jsem se zase jednou pořádně upsal. Chtěl jsem si usnadnit práci, tak jsem ty rovnice vždycky kopnul a pak přeeditoval, jenže jsem z nějakého důvodu zapoměl změnit sin/cos a závěrem sladká tečka, místo elipsy napsal hyperbola :-)

No jo, tak se pozná vysokoškolák ve zkouškovém :-)))

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2011 14:15

Polohový vektor h.b., jeho zrychlení a rovnice

#2 09. 01. 2011 15:51

Re: Polohový vektor h.b., jeho zrychlení a rovnice

#3 10. 01. 2011 01:41 — Editoval Ebola (10. 01. 2011 11:35)

Re: Polohový vektor h.b., jeho zrychlení a rovnice

#4 10. 01. 2011 10:35

Re: Polohový vektor h.b., jeho zrychlení a rovnice

#5 10. 01. 2011 11:34

Re: Polohový vektor h.b., jeho zrychlení a rovnice

Zápatí