Matematické Fórum

rendlik26 · 12. 01. 2011 15:07

1.Nechť $\varphi$ : U → V je lineární. Jestliže, $\varphi$ (u1), $\varphi$ (u2), . . . , $\varphi$ (uk) jsou lineárně nezávislé ve V , pak u1, u2, . . . ,
uk jsou lineárně nezávislé v U. Dokažte.

2.Z definice lineární nezávislosti dokažte: Jestliže, u1, u2, u3 jsou lineárně nezávislé v U, pak u1 − u2 +
u3, u1 + u2, u1 + u3 jsou rovněž lineárně nezávislé.

Rumburak · 12. 01. 2011 15:13

Obě úlohy jsou řešitelné z definice lineární nezávislosti. Jak zní tato definice ?

rendlik26 · 12. 01. 2011 15:21

Vektory u1, u2, . . . , uk $\in$ U jsou linearne nezavislé, jestliže rovnice x1u1 + x2u2 + · · · + xkuk = 0 ma pouze trivialnı resenı x1 = x2 = · · · = xk = 0.

Rumburak

↑ rendlik26:
Správně. K vyřešení první úlohy tedy je potřeba dokázat:

Má-li rovnice

(1) $\sum_{j=1}^k x_j \varphi({\vec u}_j)\, =\, \vec 0$ (napravo je nulový vektor ve V)

pouze triviální řešení, potom i rovnice

(2) $\sum_{j=1}^k x_j {\vec u}_j\, =\, \vec 0$ (napravo je nulový vektor v U)

má pouze triviální řešení.

Je to velmi lehké, stačí si uvědomit, že rovnici (2) lze převést na rovnici (1) - proč ? (V obecném případě ovšem nikoliv naopak).

U druhé úlohy se postupuje podobným způsobem.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2011 15:07

Linearně nezavislé vektory

#2 12. 01. 2011 15:13

Re: Linearně nezavislé vektory

#3 12. 01. 2011 15:21

Re: Linearně nezavislé vektory

#4 12. 01. 2011 15:58 — Editoval Rumburak (12. 01. 2011 16:08)

Re: Linearně nezavislé vektory

Zápatí