Matematické Fórum

↑ Ondřej:

mé řešení z období, kdy jsem doufala, že usilovnou práci (studiem teorie a počítáním množství úloh) se mi podaří překonat předmět "Pravděpodobnost a statistika".

Naštěstí mi bylo vysvětleno, že když na to nemám, tak je to jen ztráta času. Váženým vysvětlitelům děkuji :-)

Ještě jednou blahopřeji k úspěchu a děkuji Tvým vysvětlitelům (měli daleko lepší objekt pro vysvětlování). Zdravím.

-----------------------
"Musel jsem trochu hledat v paměti, jaká je taktika konstrukce trojúhelníků u nichž je zadán obvod" (c)

↑ halogan:

Skrytý text:
Tvůj postup s obrázkem trpí stejnou vadou, kterou popisuji v předchozím příspěvku – podle mě každý bod plochy není stejně pravděpodobný. Vezmi si už jen to, že kdyby byl každý bod stejně pravděpodobný, tak vertikální rozměr plochy je v různých horizontálních bodech různý. Tvrdíš tak vlastně, že první rozdělení v oblasti je dvakrát pravděpodobnější než v oblasti (pro infinitesimální epsilon).

Jdu si napsat vlastní skript :-).

↑ BrozekP:

Můj postup:

Skrytý text:

BÚNO je délka klacku 1. Označme x délku kratší části klacku po prvním lámání. Označme y délku delší části klacku z druhého lámání. Délka zbylé části je jednoznačně dána jako z=1-x-y. Hustotu pravděpodobnosti realizace dvojice x,y označme . A teď si napíšu, co všechno vím:

Určitě . Ze zbytku klacku po prvním lámání o délce 1-x má větší část délku určitě . Hustota pravděpodobnosti mimo množinu danou těmito intervaly je nulová.

Při daném x je každé y stejně pravděpodobné. Jinými slovy hustota pravděpodobnosti nezávisí na y, můžeme ji tedy zapsat jako nějakou funkci x: .

Hustota pravděpodobnosti každého x je stejná, označme ji K, tj.



Odtud .

Dále víme, že celková pravděpodobnost je rovna jedné:



Odtud a . Známe už kompletně rozdělení. Teď zbývá určit, jaké dvojice x,y vyhovují trojúhelníkovým nerovnostem a vyintegrovat přes ně hustotu pravděpodobnosti. Trojúhelníkové nerovnosti:

1) (její splnění plyne automaticky z y>z)
2) (můžeme přepsat na )
3) (to odpovídá zavedení proměnných)

Pravděpodobnost P, že můžeme sestrojit trojúhelník, je tedy

.

Je to tak, mé úvahy byly chybné, zde je oprava:

Skrytý text:

Označme z délku kratší strany po prvním lámání a x délku kratší strany po druhém lámání (delší stranu po druhém lámání označme y). Tedy z je z intervalu <0;1/2> a každé z je stejně pravděpodobné.

Spočtěme pravděpodobnost p(z), že pro dané pevné z můžeme z částí klacku po druhém lámání stestrojit trojúhelník. Aby bylo možné sestrojit trojúhelník, musí platit: x+z>y - tj. y<1/2 (ostatní podmínky jsou díky volbě x,y,z splněny). Tato pravděpodobnost tedy je (y je z intervalu <(1-z)/2,1-z>): .

Pak je hledaná pravděpodobnost rovna "součtu" (přecházející v integrál) p(z) ku míře celého "pravděpodobnostního prostoru", tj. .

Vzhledem k tomu, že oficiální výsledek byla 1/3, tak uvidíme.

S odstupem času můžu situaci okomentovat.

Na uzavřeném fóru našeho ročníku jsem upozornil spolužáky, ať si dají pozor na bonusové úlohy — že jsou občas tak záludné, že ani přednášející (doktor z MFF) je nespočítá správně. Nemyslel jsem to nijak zle, ale někdo, nevím kdo, mu mou zprávu zaslal. Následoval takový zábavný kolotoč.

Další den mně, ale i všem ostatním v kurzu statistiky (cca 90 lidí), přišel hromadný e-mail od kantora, kde psal, ať mi studenti nevěří, že jsem nedůvěryhodná a nevděčná osoba, která pochybuje o schopnostech přednášejícího. Ať se lidé spoléhají na své vlastní výpočty a ne na mě. V příloze bylo špatné řešení. Kantor byl přesvědčen o své pravdě, protože ten výsledek převzal z učebnice Cambridge University Press (tam ale tato chyba byla v dalších vydáních opravena). V e-mailu zněl docela dost nespokojeně.

Až po několika e-mailech mezi mnou a učitelem (už ne hromadně :-) konečně ustoupil a uznal, že nemá pravdu. V dalším hromadném e-mailu se mi omluvil.

Nejlepší bylo to, že když se to vyřešilo, dostal jsem od něj nabídku, abych u něj psal bakalářskou práci. Toho jsem sice nakonec nevyužil, ale byla to taková hezká tečka.

Proto děkuji Pavlovi B. i ostatním za uvedení v omyl, zpestřilo mi to zkouškové. Patří vám kredit za odhalení chyby, který je občas nesprávně připisován mně.