Matematické Fórum

noxondra · 24. 04. 2008 12:44

Ahojte mohl by mi někdo pomoct s tímto příkladem měl jsem ho na písemce a nevěděl jsem si s ním rady :

Je dána množina V = R^2 a pro
operace:

Zjistěte zda je (V,+,*) vektorový prostor.
Ověřte pro všechn deset vlastností i v případě že některé neplatí.

Paulus · 24. 04. 2008 19:02

Nech? je teda sčítání dvou vektorů definováno jako:
$x\oplus y=(x_1+y_1;x_2+y_2)$ ; násobení číslem z tělesa jako:
$\alpha\odot x = (2\alpha x_1; 2\alpha x_2)$

Nevím, jak máte definován vektorový prostor někdo si vystačí s osmi, někdo dokonce se sedmi axiomy vektorového prostoru (a někdo jich holt musí mít 10 :-)). Jejich ověření:

1. Komutativní zákon pro sčítání vektorů, máme dokázat, že $x\oplus y=y\oplus x$ , zřejmě platí:
$x \oplus y=(x_1+y_1;x_2+y_2)=(y_1+x_1;y_2+x_2)=y \oplus x$
Sčítání vektorů je komutativní protože je komutativní sěítání reálných čísel (složek vektorů.

2. Asociativní zákon pro sčítání vektorů. Máme dokázat ,že: $x\oplus (y\oplus z)=(x\oplus y)\oplus z$ . Platí:
$x\oplus (y\oplus z)=\Big(x_1+(y_1+z_1);x_2+(y_2+z_2)\Big)=\Big((x_1+y_1)+z_1;(x_2+y_2)+z_2\Big)=(x\oplus y)\oplus z$

3. Existuje nulový vektor $\Theta$ , takový, že pokud ho přičtu k libovolnému vektoru, tak dostanu původní vektor, neboli: $x\oplus \Theta=x$ . Z definice vektorového sčítání je vidět, že nulový vektor $\Theta=(0;0)$ . Platí totiž:
$x\oplus \Theta=(x_1+0;x_2+0)=x$

4. Ke každému vektoru existuje opačný vektor. Platí, že pokud sečtu vektor s opačným vektorem, dostanu nulový vektor $\Theta$ . Ano, z definice je vidět, že je to takový vektor, který má opačné složky. Já si opačný vektor k vektoru x označím jako $-x=(-x_1;-x_2)$ . Platí:
$x\oplus (-x)=\Big(x_1+(-x_1);x_2+(-x_2)\Big)=\Theta$
POZOR: Pro násobení, které máš definované platí nerovnost $-x\neq(-1)\odot x$

5. Distributivita operace $\odot$ . Tady to buchne. Chceme dokázat, že platí: $\alpha\odot(\beta \odot x)=(\alpha\beta)\odot x$ . Platí ale:

$\alpha\odot(\beta \odot x)=\alpha\odot(2\beta x_1;2\beta x_2)=(2\alpha2\beta x_1;2\alpha2\beta x_2)=(2\alpha\beta 2x_1;2\alpha\beta 2x_2)=\alpha\beta (2x_1;2x_2)\neq (\alpha\beta)\odot x$

Saturday · 24. 04. 2008 19:10

Zkus se podivat na podobne priklady, napr. example 2: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ … paces.aspx

Skripta
=======
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/linal.pdf - hned druhá kapitola, jsou zde axiomy vektorového prostoru, které se musí ověřit, aby se daná množina spolu s operacemi násobení a sčítáním daly označit za vektorový prostor

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space - tady jsou ty axiomy take prehledne

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2008 12:44

Vektorový prostor

#2 24. 04. 2008 19:02

Re: Vektorový prostor

#3 24. 04. 2008 19:10

Re: Vektorový prostor

Zápatí