Matematické Fórum

Moonchild · 15. 01. 2011 12:58

Ahoj, mám zadanou teoretickou otázku:

Kolik řešení může mít homogenní soustava 4 rovnic o 3 neznámých? Zdůvodněte

Moje vysvětlení:
1. Homogenní soustava má vždy alespoň jedno řešení a to triviální. Nechť $A . x = b$ , kde b = 0. Pokud x = 0, potom má soustava vždy řešení.
2. Pokud má soustava o 3 neznámých 4 rovnice, je minimálně jedna jedna rovnice lineárně závislá a hodnost matice soustavy je max. 3. Tohle vím z praxe ale neumím to zdůvodnit.
3. Pokud $hod(A) = n$ , kde n = počet neznámých, má soustava právě jedno - triviální řešení. Pokud $hod(A) < n$ , má soustava nekonečně mnoho řešení. Nechť k je počet lin. nezávislých vektorů $x_1 ... x_k$ , které tvoří množinu všech řešení soustavy, potom $k = n - hod(A)$ .

Můj závěr: Homogenní soustava může mít buďto jedno - triviální řešení nebo nekonečně mnoho řešení. Mám pravdu? Jestli ano, mohli byste mi prosím pomoct zdůvodnit bod 2 a 3? Nejsem žádnej matematik, takže nevylučuju možnost, že jsem úplně mimo.

claudia · 15. 01. 2011 14:31

Nezávisí to také na použitém tělese? Pokud to by mělo konečný počet prvků, nemůže mít soustava nekonečně mnoho řešení (počet řešení pak bude záviset na počtu prvků tělesa).

Jinak hodnost matice je rovna hodnosti matice transponované, z toho pak ihned plyne, že třísloupcová matice má hodnost $\leq 3$ .

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 15. 01. 2011 14:35

↑ claudia:
asi se mysli teleso realnych cisel.

Pavel · 15. 01. 2011 14:49 — Editoval Pavel (15. 01. 2011 14:49)

↑ Moonchild:

ad 2) Platí totiž věta, že je-li $A$ matice typu $(m,n)$ , pak $h(A)\leq \mathrm{min}(m,n)$ . Proto hodnost Tvé matice soustavy nemůže být větší než 3.

claudia

↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:

Zrovna u teoretické otázky bych se v to neodvážila ani doufat :-) Počet řešení by pak měl být (počet prvků tělesa) na (3 - (hodnost A)).

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 15. 01. 2011 16:17

↑ claudia:
Mozna mate pravdu. Pokud to neni treba teroreticka otazka pro nabytkare (kteri si pod pojmem teleso rozhodne nepredstavi cislenou mnozinu), tak nejspis bude zalezet i na tom telese :)
Vsak on to puvidni tazatel urcite upresni. Ale dekuji za upresneni.

Moonchild · 15. 01. 2011 18:04

Zadání není nijak upřesněno, ale asi se opravdu myslí těleso reálných čísel.

claudia · 15. 01. 2011 18:27

↑ Moonchild:

Nevadí, vzorec výše lze aplikovat i na nekonečnou množinu a vyjde žádaný výsledek - že řešení je nekonečně mnoho, je-li hodnost matice menší než 3.

Ke snadnému důkazu se dá použít: http://en.wikipedia.org/wiki/Rank-nullity_theorem

Vyjdi z toho, že vektory, které řeší onu homogenní soustavu, jsou právě jádro její matice. Toto jádro je podprostorem $T^3$ o dimenzi $dim(Ker A) = 3 - rank(A)$ (z odkazované věty). Takový podprostor má pak opravdu $|T|^{3 - rank(A)}$ prvků.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2011 12:58

Homogenní soustava - počet řešení

#2 15. 01. 2011 14:31

Re: Homogenní soustava - počet řešení

#3 15. 01. 2011 14:35

Re: Homogenní soustava - počet řešení

#4 15. 01. 2011 14:49 — Editoval Pavel (15. 01. 2011 14:49)

Re: Homogenní soustava - počet řešení

#5 15. 01. 2011 15:10 — Editoval claudia (15. 01. 2011 18:51)

Re: Homogenní soustava - počet řešení

#6 15. 01. 2011 16:17

Re: Homogenní soustava - počet řešení

#7 15. 01. 2011 18:04

Re: Homogenní soustava - počet řešení

#8 15. 01. 2011 18:27

Re: Homogenní soustava - počet řešení

Zápatí