Matematické Fórum

jeree01 · 16. 01. 2011 22:41

Ako dalej v tomto pripade?(tym pouzitim D'Albertovho kriteria som si tiez nie velmi isty)

Rumburak

Poloměr konvergence r = 1/2 řady

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-2)^n}{\sqrt{n}}$x-(-3)$^n$ ,

je správně, ve výpočtu je ale chyba - ztratila se absolutní hodnota.

Použití d'Alembertova kriteria při vyšetřování konvergence v krajních bodech je nesprávné.
Toto kriterium pro řady mající pouze kladné členy (až na konečný počet výjímek) jsme vlastně použili při hledání poloměru konvergence řady

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \|\frac {(-2)^n}{\sqrt{n}}$x-(-3)$^n\|$ ,

o níž víme, že její p.k. R je stejný jako u řady (1). Proto by nás nemělo překvapit, že d'Alembertovo limitní kriterium uplatněné na řadu

$\sum_{n=1}^{\infty} \|\frac {(-2)^n}{\sqrt{n}}R^n\|$

dává hodnotu 1 (číslo R = 1/2 přece úmyslně bylo voleno tak, aby tato hodnota byla 1) . Nutno tedy postupovat jinak:

Pro x = -5/2 dostaneme konvergenci podle Leibnizova kriteria.
Pro x = -7/2 dostaneme divergenci:- využijeme poznatek, že $\sqrt{n} \le n$ a proto $\frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{1}{n}$ , přičemž
o harnonické řadě $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ víme, že diverguje. Pokud bychom si nevzpomněli na srovnání s harmonickou řadou,
mohli bychom divergenci řady $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ dokázat integrálním kriteriem.

Kamik666 · 17. 01. 2011 11:08

↑ Rumburak:
a nemoze sa pri -7/2 použit Riemannov rad ?

Rumburak

↑ Kamik666:
Pokud máš na mysli řadu definující Riemannovu funkci zeta $\zeta(x) =\sum_{n=1}^{\infty}$\frac{1}{n}$^x$
a znalost o tom, že pro $x \le 1$ tato řada diverguje, pak jistě ano.

Kamik666 · 17. 01. 2011 13:31

↑ Rumburak:
Dakujem
este jedna vec $\frac{1}{(-2)^n \sqrt{n}} (2)^n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ alebo to ma byt inak ?

Rumburak · 17. 01. 2011 13:45

↑ Kamik666:
Pro lichá (=nepárná) n je to jinak , protože to minus na levé straně pak nezmizí.

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2011 22:41

Interval a obor konvergencie mocninovej funkcie-pomoc -SUUURNE

#2 17. 01. 2011 10:29 — Editoval Rumburak (17. 01. 2011 11:09)

Re: Interval a obor konvergencie mocninovej funkcie-pomoc -SUUURNE

#3 17. 01. 2011 11:08

Re: Interval a obor konvergencie mocninovej funkcie-pomoc -SUUURNE

#4 17. 01. 2011 11:20 — Editoval Rumburak (17. 01. 2011 11:23)

Re: Interval a obor konvergencie mocninovej funkcie-pomoc -SUUURNE

#5 17. 01. 2011 13:31

Re: Interval a obor konvergencie mocninovej funkcie-pomoc -SUUURNE

#6 17. 01. 2011 13:45

Re: Interval a obor konvergencie mocninovej funkcie-pomoc -SUUURNE

Zápatí