Matematické Fórum

kexixex · 23. 01. 2011 21:13

Jak postupovat při dokazování, že podobné matice mají stejná vlastní čísla a vlastní vektory ?

kexixex · 24. 01. 2011 16:25

Tak na něco jsem přišel...
Důkaz implikace - Pokud si jsou matice A a B podobné, pak mají stejný charakteristický polynom.
Matice si jsou podobné -> jejich determinanty se rovnají (pomocí Laplaceovy věty)
jejich determinanty se rovnají -> rovnají se i determinanty matic (A-x*E) a (B-x*E) (zase Laplaceova věta + vlastnosti maticového násobení )
Ale char. polynom matice A je roven det(A-x*E) , takže implikace platí.

Vlastní čísla jsou kořeny char. polynomu atd. Vlastní vektor asi nebude stejný..

Pavel Brožek · 24. 01. 2011 17:00

↑ kexixex:

Tvé argumentaci nerozumím.

Předpokládáme, že máme dvě podobné matice A a B, $A=TBT^{-1}$ , což můžeme také zapsat $AT=TB$ . Nechť b je vlastní číslo matice B. Pak k němu existuje vlastní vektor matice B $v_b$ . Platí

$A(Tv_b)=(AT)v_b=(TB)v_b=T(Bv_b)=T(bv_b)=b(Tv_b)$ .

Vektor $Tv_b$ (je skutečně nenulový, protože T je regulární) je vlastním vektorem matice A s vlastním číslem b. Analogicky můžeme naopak z rovnosti $T^{-1}A=BT^{-1}$ dokázat, že pokud a je vlastní číslo A s vlastním vektorem $v_a$ , pak vektor $T^{-1}v_a$ je vlastním vektorem matice B s vlastním číslem a. Matice A a B tak mají stejné spektrum.

Vlastní vektory jsou ale obecně různé, stačí najít nějaký jednoduchý protipříklad.

kexixex

Rozepíšu to tedy podrobněji,
$A=TBT^{-1}$ $\Rightarrow$ $det(A)=det(TBT^{-1})=det(T)det(B)det(T^{-1})=det(T)det(B)(det(T))^{-1}=det(B)$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $det(A-xE)=det(TBT^{-1}-xE)=det(TBT^{-1}-TxET^{-1})=det(T(B-xE)T^{-1})=det(T)det(B-xE)(det(T))^{-1}=det(B-xE)$

$x$ je reálné číslo, charakteristický polynom matice A je definován právě jako $P(x)= det(A-xE)$

Myslim, že by to mělo fungovat jako důkaz implikace "Pokud si jsou matice A a B podobné, pak mají stejný charakteristický polynom" také, ne ?