Matematické Fórum

Ebola · 23. 01. 2011 22:48

Ahoj, narazil jsem na další příklad, který neumím hlavně pochopit...

Těleso o hmotnosti m = 10kg se pohybuje účinkem proměnlívé síly F = p(q-t) kde p = 100N/s a q=1s. Za jak dlouho se těleso zastaví a jakou dráhu urazí, jestliže v čase t = 0 mělo rychlost $v_0 = 0,2 ms^{-1}$ a síla má směr rychlosti tělesa?

Není mi jasné co tam čaruje ta hybnost vyjádřena navíc v N/s. výraz (p-t) jsem pochopil že to nejspíše bude vždy (1-t).

Co jsem si dokázal vyjádřit sám je v čase $t_0 = 0$ by mohla rovnice síly vypadat nějak tak... $F_{t_0} = 2 (1-0) = 2N$ což je začíslení obecné rovnice $F = p(q-t)$ . p jsem si vyjádřil jako $p = mv$ , resp. $p = mv_0$ což je $p = 10*0.2 = 2 kg m s^{-1}$

O síle vím že je definovaná jako $F = ma = m \frac {dv}{dt}$ z čehož mne napadlo že mne zajímá okamžik když $v = 0$ takže podle toho by mělo odpovídat že $F{(t?)} = 0 N$ Řekl bych ale že jsem v něčem slušně ustřelil ze zákonů fyziky a proto to vede k řešení se spoustou nul. Správné by mělo být $t = 1+ \frac{\sqrt{104}}{10}$ a s = cca 7.07m

Dík

zdenek1 · 24. 01. 2011 08:29

↑ Ebola:
No jo, jenže $p$ není hybnost. To je prostě nějaká konstanta.
Takže si zintegruj
$\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}=\frac pm(q-t)$

Ebola · 24. 01. 2011 11:43

Jo tak... Dík, tak jsem to dopočítal... házím řešení:

$\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}=\frac pm(q-t)$
...
$\frac{dv}{dt} = 10q - 10t$ ... q = 1 takže jej můžu vynechat
$\int (10-10t)dt = 10t - 5t^2 + c$ ... c z počátečních podmínek je $v_0$ , tj. 0.2
otázkou bylo za jak dlouho zastaví... zastaví jakmile v(t) = 0, takže
$5t^2 - 10t - 0.2 = 0$
$D = b^2 - 4ac$
$D = 104 ; \sqrt{D} = \sqrt {104}$
$x_{1,2} = \frac {-b -+ \sqrt{D}}{2a}$
$x_{1,2} = \frac {10 -+ \sqrt{104}}{10}$ jedno řešení vyjde záporně, takže vypadává a zůstane pouze
$x = \frac {10 + \sqrt{104}}{10}$ což je $t = 1+ \frac {\sqrt{104}}{10}$ přibližně tedy 2s

a dráha...

$s(t) = \int {v(t)}dt$
...
$s = -5 \frac{t^3}{3} + 5t^2 + 0.2t$ dosadím t = cca 2s
$s = \frac{21,3}{3} = 7.06m$

hotovo, vyřešeno... Ještě jednou dík

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2011 22:48

Dynamika - proměnná síla

#2 24. 01. 2011 08:29

Re: Dynamika - proměnná síla

#3 24. 01. 2011 11:43

Re: Dynamika - proměnná síla

Zápatí