Matematické Fórum

Icysight · 26. 01. 2011 11:49

Zase mam mensi problem - Kvádr, jehož rozměry tvoří geom. posloupnost má součet rozměrů 26 cm a povrch S=312 cm2. Určete rozměry a objem kvádru. (Melo by to vyjit 2 cm, 16 cm, 18 cm, 216 cm2-tu je chyba ve vysledku ma byt cm3 ne :D). Ta GP me zaskocila... vim jak ji pocitat s qvocientem a 1. clenem a tak lehce, ale tu si fakt nevim rady :/

zdenek1

↑ Icysight:
hrany budou $a=a_1$
$b=a_1q$
$c=a_1q^2$
součet $a+b+c=a_1+a_1q+a_1q^2=a_1(1+q+q^2)=26$ (1)
Povrch $S=2(ab+ac+bc)=2(a_1^2q+a_1^2q^2+a_1^2q^3)=2a_1^2q(1+q+q^2)=312$
když dáš rovnice do poměru

$\frac{a_1^2q(1+q+q^2)}{a_1(1+q+q^2)}=\frac{156}{26}$
dostaneš $b$ . To pak dosadíš do (1).

Cheop · 26. 01. 2011 12:22

↑ Icysight:
1)
a+b+c=26
2)
2(ab+ac+bc)=312
ab+ac+bc=156
$a+aq+aq^2=26\nlq^2+q+1=\frac{26}{a}$
$a^2q+a^2q^2+a^2q^3=156\nla^2q(q^2+q+1)=156\nlq^2+q+1=\frac{156}{a^2q}$
$\frac{156}{a^2q}=\frac{26}{a}\nlaq=6\nlb=6$
$a+6+c=26\nla+aq^2=20\nla=\frac{20}{q^2+1}$
$a=\frac{26}{q^2+q+1}$
$\frac{20}{q^2+1}=\frac{26}{q^2+q+1}\nl6q^2-20q+6=0\nlq_1=3\nlq_2=\frac 13$
$a=\frac{20}{q^2+1}=\frac{20}{10}\nla=2$
$c=aq^2=2\cdot 3^2=18$
Rozměry 2,6,18
$V=abc=2\cdot 6\cdot 18=216$

Honzc · 26. 01. 2011 12:26 — Editoval Honzc (26. 01. 2011 13:08)

↑ Icysight:
Ten výsledek je i jinak divný, nebo jsi ho špatně opsal.
Má být 2,6,18 cm a V=216 cm^3
Náznak výpočtu.
2*(a^2*q+a^2*q^2+a^2*q^3)=312
a*(1+q+q^2)=26
--------------------
a*q*26=156, a=6/q
-----------------------
6*(1+q+q^2)/q=26
3*q^2-10*q+3=0
--------------------
q1=1/3, q2=3
Řešení:
18,6,2 nebo 2,6,18 což jsou stejná řešení pokud nám nezáleží co je a co je b a co je c.

Honzc · 26. 01. 2011 12:27

↑ Cheop:
Čau,
zase pár minut, ale proč tak složitě?

Cheop · 26. 01. 2011 12:30

↑ Honzc:
Protože mě to nenapadlo nechat to v "rozepsaném" stavu (ten povrch)

zdenek1 · 26. 01. 2011 12:31

↑ Honzc:↑ Cheop:
Zdravím,
proč myslíte, že jsem to nechal nedopočítané?

Cheop · 26. 01. 2011 12:33 — Editoval Cheop (26. 01. 2011 12:34)

↑ zdenek1:
Že by se ti nechtělo to dopsat, protože je toho psaní moc?

zdenek1 · 26. 01. 2011 12:37

↑ Cheop:
Bingo! :-)

Icysight · 26. 01. 2011 12:46

Diky a proc 156 ? A rikate, ze b=6 a ne 16? Nj ty priklady k maturite jsou jakesi mistama spatne a pak me to mate :D

Cheop · 26. 01. 2011 12:51

↑ Icysight:
Protože překvapivě $\frac{312}{2}=156$

Icysight · 26. 01. 2011 12:58

Jo jasny :D ale proc se pocita s pulkou ?

Cheop · 26. 01. 2011 13:04 — Editoval Cheop (26. 01. 2011 13:06)

↑ Icysight:
Protože povrch kvádru je:
$S=2(ab+ac+bc)\nl\frac{S}{2}=ab+ac+bc=a^2q+a^2q^2+a^2q^3=a^2q(1+q+q^2)$

Icysight · 26. 01. 2011 13:14

ok diky uz to chapu :)

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2011 11:49

Rozmery a objem kvadru

#2 26. 01. 2011 12:11 — Editoval zdenek1 (26. 01. 2011 12:12)

Re: Rozmery a objem kvadru

#3 26. 01. 2011 12:22

Re: Rozmery a objem kvadru

#4 26. 01. 2011 12:26 — Editoval Honzc (26. 01. 2011 13:08)

Re: Rozmery a objem kvadru

#5 26. 01. 2011 12:27

Re: Rozmery a objem kvadru

#6 26. 01. 2011 12:30

Re: Rozmery a objem kvadru

#7 26. 01. 2011 12:31

Re: Rozmery a objem kvadru

#8 26. 01. 2011 12:33 — Editoval Cheop (26. 01. 2011 12:34)

Re: Rozmery a objem kvadru

#9 26. 01. 2011 12:37

Re: Rozmery a objem kvadru

#10 26. 01. 2011 12:46

Re: Rozmery a objem kvadru

#11 26. 01. 2011 12:51

Re: Rozmery a objem kvadru

#12 26. 01. 2011 12:58

Re: Rozmery a objem kvadru

#13 26. 01. 2011 13:04 — Editoval Cheop (26. 01. 2011 13:06)

Re: Rozmery a objem kvadru

#14 26. 01. 2011 13:14

Re: Rozmery a objem kvadru

Zápatí