Matematické Fórum

Lerion · 26. 01. 2011 21:38

Zdravím, potřeboval bych poradit s tímto příkladem...stále rozkládám, ale nějak se nemohu dopracovat k výsledku. Předem děkuji za pomoc.
$\cos^4 x-\sin^4 x=\cos2x$

Maxim K

Ahoj,
rozlozit cos2x
rozlozit vyraz na leve strane dle vzorce (a-b)(a+b)=a^2-b^2
Vydelit vyrazem, ktery je na obou stranach rovnice a vysetrit pripad, kdy by se tento vyraz rovnal nule.

Lerion · 26. 01. 2011 21:56

↑ Maxim K:
Já i před tím skončil u tohohle:
$\cos^2 x\cdot cos^2 x -\sin^2 x\cdot\sin^2 x =\cos^2 x - \sin^2 x$

mikl3 · 26. 01. 2011 21:59 — Editoval mikl3 (26. 01. 2011 22:00)

$(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)=\cos^2 x - \sin^2 x$ když vydělíme pravou stranou (ale jak psal kolega, musíme určit x kdy se ta pravá rovná 0 abychom měli podmínky!), tak:
$\cos^2 x + \sin^2 x=1$

Maxim K

Lerion:
To ale s mym doporucenim nema moc spolecneho :)
$(cos^2x-sin^2x) * (cos^2x+sin^2x) = cos^4x - sin^4x$

Lerion · 26. 01. 2011 22:00 — Editoval Lerion (26. 01. 2011 22:02)

Jééé pardon, teď mi to došlo :)
Díky moc!

mikl3 · 26. 01. 2011 22:03 — Editoval mikl3 (26. 01. 2011 22:04)

↑ Lerion: tak to dopočítej a ukaž
mělo by vyjít

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

zdenek1 · 26. 01. 2011 23:23

↑ mikl3:
No to by teda nemělo.
$x\in\mathbb R$

Maxim K · 26. 01. 2011 23:31

↑ zdenek1:
Take si myslim

mikl3 · 27. 01. 2011 07:19 — Editoval mikl3 (27. 01. 2011 07:30)

↑ zdenek1:A co to deleni?
vycházel jsem z toho, že jsem rovnici dělili výrazem $\cos^2 x - \sin^2 x$ tudíž by se neměl rovnat nule a on se nule rovná pro ta x, která jsem napsal do podmínek, tak jsem to někde pokazil? díky

Honzc · 27. 01. 2011 08:32 — Editoval Honzc (27. 01. 2011 12:50)

↑ mikl3:
Ano, pokazil.
Řešení je jak píše ↑ zdenek1: $x\in\mathbb R$ a zároveň
x<>+-pi/4+k*pi nebo se to dá napsat i x<>pi/4+k*pi/2, takže podmínku máš dobře

Po editaci
Ovšem opravdu žádné dělení, takže rovnice platí pro všechna x z R.

zdenek1 · 27. 01. 2011 11:33

↑ mikl3:
Jaký dělení?
$(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)=\cos^2 x - \sin^2 x$
$\cos^2 x - \sin^2 x=\cos^2 x - \sin^2 x$
$0=0$
Já žádný nevidím.

mikl3 · 27. 01. 2011 15:40

$(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)=\cos^2 x - \sin^2 x$ tuhle rovnici vydelim clenem, ktery je na obouch stranach, ano je to timhle $\cos^2 x - \sin^2 x$ v tom pripade se nesmi rovnat 0 a to jsem resil

zdenek1 · 27. 01. 2011 16:32

↑ mikl3:
Tak to děláš špatně.
Jinak si můžeš udělat zkoušku.
L: $\cos^4(-\frac\pi4)-\sin^4(-\frac\pi4)=(\frac{\sqrt2}2)^4-(-\frac{\sqrt2}2)^4=0$
P: $\cos(-2\frac\pi4)=\cos(-\frac\pi2)=0$

mikl3 · 27. 01. 2011 18:03

↑ zdenek1: byl bys tak laskva a napsal mi, v čem je moje chyba? popř. správné řešení, já jsem totiž vycházel třeba z tohohle:
Ahoj,
rozlozit cos2x
rozlozit vyraz na leve strane dle vzorce (a-b)(a+b)=a^2-b^2
Vydelit vyrazem, ktery je na obou stranach rovnice a vysetrit pripad, kdy by se tento vyraz rovnal nule.

Editoval Maxim K (Včera 21:44)

přišlo mi to, že takovou úpravu rovnice klidně mohu udělat...

Maxim K · 27. 01. 2011 19:53

Myslim, ze postup, jaky jsem nastinil, neni spatny, nicmene se v jednom bode dojde ke tvaru:
$(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)=\cos^2 x - \sin^2 x$
Kde budto vydelim vyrazem na prave strane a zjistim, ze $(\cos^2 x + \sin^2 x)=1$ - tudiz uz nemusim urcovat podminky a vim, ze rovnice plati pro vsechna $x\in\mathbb R$ .
Nebo si uvedomim, ze jeden z vyrazu na leve strane se rovna jedne a tudiz jsou obe strany rovnice ekvivalentni, tudiz stejny vysledek.
Ja ve svem postupu o urcovani podminek mluvil proto, ze jsem ten priklad nemel propocitany do faze, kdy bylo jasne, ze vysledek je $x\in\mathbb R$ , tudiz neni potreba resit nic dal.

Lerion · 28. 01. 2011 18:50

Já asi zapomněl napsat, že se dělá důkaz :)

jelena · 29. 01. 2011 00:36

kolega Lerion napsal(a):
Já asi zapomněl napsat, že se dělá důkaz :)

Tomu se řiká "skvelý vtip" :-)

Tedy ještě jednou: Petáková, kapitola 6.9, zadání 47 a)

Určete, pro která x náleží R jsou definovány uvedené rovnosti, a pák je dokažte:

a) $\cos^4 x-\sin^4 x=\cos2x$

MARIANNA · 30. 01. 2011 20:12

Dobrý večer pekne vás prosím pomôžte mi z týmto veľmi zložitým príkladom neviem si už rady... :/

3cotg²x+5cosx-3=0

Mikulas · 30. 01. 2011 20:17

Dobrý večer,
jiný příklad - prosím o založení vlastního tématu.

mikl3 · 30. 01. 2011 20:18

↑ MARIANNA: založ si prosím nové téma v sekci SŠ, pojmenuj ho třeba goniometrická rovnice, tohle není dobré, v tomhle tématu se řeší jiný příklad jiného tazatele, navíc to je v rozporu s pravidly

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2011 21:38

Goniometrická rovnice

#2 26. 01. 2011 21:44 — Editoval Maxim K (26. 01. 2011 21:44)

Re: Goniometrická rovnice

#3 26. 01. 2011 21:56

Re: Goniometrická rovnice

#4 26. 01. 2011 21:59 — Editoval mikl3 (26. 01. 2011 22:00)

Re: Goniometrická rovnice

#5 26. 01. 2011 22:00 — Editoval Maxim K (26. 01. 2011 22:01)

Re: Goniometrická rovnice

#6 26. 01. 2011 22:00 — Editoval Lerion (26. 01. 2011 22:02)

Re: Goniometrická rovnice

#7 26. 01. 2011 22:03 — Editoval mikl3 (26. 01. 2011 22:04)

Re: Goniometrická rovnice

#8 26. 01. 2011 23:23

Re: Goniometrická rovnice

#9 26. 01. 2011 23:31

Re: Goniometrická rovnice

#10 27. 01. 2011 07:19 — Editoval mikl3 (27. 01. 2011 07:30)

Re: Goniometrická rovnice

#11 27. 01. 2011 08:32 — Editoval Honzc (27. 01. 2011 12:50)

Re: Goniometrická rovnice

#12 27. 01. 2011 11:33

Re: Goniometrická rovnice

#13 27. 01. 2011 15:40

Re: Goniometrická rovnice

#14 27. 01. 2011 16:32

Re: Goniometrická rovnice

#15 27. 01. 2011 18:03

Re: Goniometrická rovnice

#16 27. 01. 2011 19:53

Re: Goniometrická rovnice

#17 28. 01. 2011 18:50

Re: Goniometrická rovnice

#18 29. 01. 2011 00:36

Re: Goniometrická rovnice

kolega Lerion napsal(a):

#19 30. 01. 2011 20:12

Re: Goniometrická rovnice

#20 30. 01. 2011 20:17

Re: Goniometrická rovnice

#21 30. 01. 2011 20:18

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí