Matematické Fórum

trabant · 27. 01. 2011 19:09

Do akej výšky by vystúpilo auto hore kopcom, poháňané len zotrvačníkom s momentom zotrvačnosti 10 kg/m2 ak koná 3600 ot/min. Hmotnosť auta je 600 kg a trenie a odpor vzduchu zanedbajte. vysledok - [ 118,4 m]

Brusný kotúč s polomerom 150 cm a momentom zotrvačnosti 30 kg/m2, ktorý sa otáča uhlovou rýchlosťou 300 ot/min, brzdíme po vypnutí motora pritláčaním brúsneho predmetu silou 60 N až do zastavenia kotúča. Ako dlho potrvá brzdenie a koľko otáčok ešte vykoná pritom kotúč. výsledok - [15,7 s; 26,5]

Mam problem s tymito dvoma prikladmi...nedari sa mi najst suvislost a sposob vypoctu. Keby niekto vedel aspon poradit myslienku riesenia bol by som velmi rad....dakujem

medvidek · 28. 01. 2011 06:41

↑ trabant:

Auto:

Energia rotačného pohybu zotrvačníka = potenciálna energia auta
$\frac{1}{2}J \omega^2=mgh$ ,
uhlová rýchlosť
$\omega=2 \pi f$ .
Z toho
$h=\frac{2 \pi^2 J f^2}{mg}=118,4 m$

Pri dosadení nezabudnúť ot/min previesť na ot/s.

medvidek · 28. 01. 2011 09:04

↑ trabant:

Kotúč:

Možno využiť formálnu analógiu vzťahov pre priamočiary pohyb (vľavo) a pohyb kruhový (vpravo):
$F=ma$ ............... $M=J \epsilon$
$p=mv$ ............... $L=J \omega$
$p=Ft$ ............... $L=Mt$
$s=vt$ ................ $\varphi=\omega t$
$E=Fs$ ................ $E=M \varphi$
$E=\frac12 mv^2$ .......... $E=\frac12 J \omega^2$

$M$ - moment sily
$J$ - moment zotrvačnosti
$\epsilon$ - uhlové zrýchlenie
$L$ - moment hybnosti (impulzmoment)
$\varphi$ - uhol
$\omega$ - uhlová rýchlosť
$E$ - energia
(význam veličín v ľavej časti tabuľky by mohol byť jasný)

Hybnosť = Impulz sily (pre priamočiary pohyb):
$mv=Ft$ (tento vzťah nepoužijeme je tu len na ukážku analógie)

Moment hybnosti = Impulzmoment (kruhový pohyb):
$J \omega = Mt$ (tento vzťah použijeme pre výpočet času brzdenia kotúča)
Vyjadríme čas $t$
$t=\frac{J \omega}{M}$
Uhlovú rýchlosť $\omega$ nepoznáme, ale máme zadané otáčky za minútu. Platí vzťah
$\omega=2 \pi f$ , kde $f$ sú otáčky za sekundu.
Ani moment sily $M$ nepoznáme, vypočítame ho zo vzťahu
$M=Fr$ , kde $F$ je sila pôsobiace na ramene $r$
Po dosadení za $\omega$ a $M$ dostaneme
$t=\frac{J \cdot 2 \pi \cdot f}{F \cdot r}$
Číselne
$t=\frac{30 \cdot 2 \pi \cdot 5}{60 \cdot 1,5} \ s = 10,47 \ s$
V zadaní úlohy je uvedený výsledný čas brzdenia 15,7 s. Autor pravdepodobne zabudol dať do menovateľa dĺžku ramena r=1,5m.

Na zistenie počtu otáčok do zastavenia kotúča použijeme vzťahy pre energiu.
$E=M \varphi$ a $E=\frac12 J \omega^2$ , z ktorých vyplýva rovnosť
$M \varphi=\frac12 J \omega^2$ .
Vyjadríme z nej uhol $\varphi$
$\varphi=\frac{J \omega^2}{2M}$ .
Je to uhol (v radiánoch), na ktorom dôjde k zastaveniu kotúča. Ešte je treba ho previesť na počet otáčok $N$ a dosadiť za $\omega$ a $M$ :
$N=\frac{\varphi}{2 \pi}=\frac{J \pi f^2}{Fr}$
Číselne
$N=\frac{30 \cdot \pi \cdot 5^2}{60 \cdot 1,5}=26,18$

Poznámka:
V zadaní sa hovorí o pritláčaní predmetu silou 60N.
Predpokladám, že správna formulácia je "pritláčaním predmetu vzniká tangenciálna brzdná sila 60N".

trabant · 28. 01. 2011 10:38

Dakujem velmi pekne !! Ten vysledok s tym kotucom (10,47 s) vysiel aj mne ale podla zadania tam ma byt 15,7 preto som nevedel ci robim chybu ja alebo je zle zadanie !! Dakujem za overenie !!

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2011 19:09

Moment zotrvačnosti, uhlová rychlost

#2 28. 01. 2011 06:41

Re: Moment zotrvačnosti, uhlová rychlost

#3 28. 01. 2011 09:04

Re: Moment zotrvačnosti, uhlová rychlost

#4 28. 01. 2011 10:38

Re: Moment zotrvačnosti, uhlová rychlost

Zápatí