Matematické Fórum

Oki · 01. 05. 2008 18:50

Mam tady ještě jeden příkladek.
Jedná se o příklad z písemné zkoušky na mendelu.

přikládám zadání a moje řešení ... do bodu, kdy si myslím,že je to v pořádku. Použil jsem k řešení exp. vzorec. a úpravu A^B = e^2lnx
y v zadání je y´.. tedy dy/dx
Na integraci jsem použil program...jevi se to poněkud složitě...jestli budeme mít někdo chu? byl bych rád za zkontrolování a popř. konečné řešení s trochou postupu. diky

robert.marik

$x y' -2 = x \ln x$ takto? jestli ano tak to skoro ani není diferenciální rovnice. stačí osamostatnit derivaci a zintegrovat. Je to zadání tak jak jsem napsal já?

plisna · 01. 05. 2008 19:00 — Editoval plisna (01. 05. 2008 19:01)

$xy' - 2 = x \ln x\nl y' = \ln x + \frac{2}{x}\nl \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \ln x + \frac{2}{x}\nl \mathrm{d}y = \ln x + \frac{2}{x} \,\mathrm{d}x\nl y = x \ln x - x + 2 \ln x + C$

jelikoz $\int \ln x \,\mathrm{d}x = \text{per partes} = x \ln x - x + C$

EDIT: aj, robert me uz predbehnul, takze jsem mozna nemel uplne odkryt reseni...

Jorica · 01. 05. 2008 19:08 — Editoval Jorica (01. 05. 2008 19:11)

↑ plisna:
S postupem souhlasim, jen bych asi pridala absolutni hodnotu ;-)
$y = x \ln x - x + 2 \ln |x| + C_1$
nebo to zapsala v jinem tvaru $C_1=\ln C$ , kde $C>0$ a $2 \ln |x| = \ln x^2$ aby nebyla ta absolutni hodnota potreba ;-)
Celkove pak
$y = x \ln x - x + \ln Cx^2$

plisna · 01. 05. 2008 19:12

to jorica: domnivam se, ze pokud je uz ve vyrazu logaritmus bez absolutni hodnoty z integrace logaritmu, tak pri integraci 1/x uz je absolutni hodnota zbytecna.

Jorica · 01. 05. 2008 19:15

↑ plisna:
Nekolikrat jsem si precetla tvou vetu...nez jsem ji pochopila :))) a da se s tim souhlasit.

robert.marik · 01. 05. 2008 19:18

ale na příklad ze zkouškové písemky mi to připadne nějaký lehký. Je to zadání určitě správně?

Jorica · 01. 05. 2008 19:19

↑ robert.marik:
Taky mi prijde lehky, pokud staci proste integrovani, treba to byl priklad na rozjezd ;)

Oki · 01. 05. 2008 20:37

v zadání mám chybu 2y

robert.marik

$x y' -2y = x \ln x$ takto?
http://wood.mendelu.cz/math/maw/ode/ode … ko=Odeslat

u toho integralu treba substituci ln(x)=t a potom per partes

Oki · 01. 05. 2008 20:41

↑ robert.marik:

ano takto je to zadání správně...už je to o něco složitější :-)

Oki · 01. 05. 2008 20:44

↑ robert.marik:

dal by se na to použít vzorec LDR v explicitním tvaru?....nějak mám pocit, že to chce poněkud více matematického nadání...pro zk. kombinovaného studia, kde nemáme cvičení mi to přijde poněku těžší.

robert.marik · 01. 05. 2008 20:55

Dá se použít i variace konstant i vzorec. Obojí vede ke stejně těžkým integrálům, jde jenom o zápis.

Oki · 01. 05. 2008 20:59

↑ robert.marik:

vyšlo mi y= x^2(C-ln/x + x)

někdy mi nedá spát, když mi to nevychází... :-).

plisna · 01. 05. 2008 21:10 — Editoval plisna (01. 05. 2008 21:11)

divam se, ze robert uz je offline, takze si dovolim vlozit sem odkaz na jeho stranky, ktere ti priklad vyresi i s urcitymi kroky v postupu, takze muzes vyzkouset a zkontrolovat

http://old.mendelu.cz/~marik/maw/index.php?form=ode

Jorica · 01. 05. 2008 21:18 — Editoval Jorica (01. 05. 2008 21:19)

↑ Oki:
kdyztak kouknete na ten odkaz, co vkladal Robert v prispevku #10.
Asi jste se preklepl, chybi vam tam x u logaritmu ;-) ale i tak me tam vyslo na konci te zavorky trosku jinak

$y=x^2(C-\frac{\ln x}{x}-\frac 1x)=Cx^2-x\ln x-x$

Oki · 01. 05. 2008 22:18

↑ Jorica:

je to tak překlepy na denním pořádku :-). závěr jsem odbyl je to -1/x.... plodné téma s dobrým koncem díky všem

jany · 02. 05. 2008 11:25

Mam tiez jednu DR a to
$(1+y^2)dx+xydy=0$
po separacii a integrovani som dostal
$-2ln|x|=ln|1+y^2|+2C$
a dalej ??

Jorica · 02. 05. 2008 11:39

↑ jany:
Pokud si to upravis uz do tohoto tvaru, tak uz s tim moc nesvedes. Doporucuji nechat po integraci ve tvaru

$\frac{1}{2}\mathrm{ln}$1+y^2$=-\mathrm{ln}|x|+\mathrm{ln}C$ , kde $C>0$ (vynechala jsem absolutni hodnotu u logaritmu vlevo, kde byla zbytecna a konstantu C zvolia ve tvaru logaritmu, aby s tim slo dal pracovat).

Doporucuji nenasobit dvema, ale prevest jednu polovinu do exponentu a logaritmy vparvo sloucit do jednoho:

$\mathrm{ln}$1+y^2$^{\frac{1}{2}}=\mathrm{ln}\frac{C}{x}$ , kde $C\neq 0$ .
Odlogaritmujeme a exponent 1/2 prevedu na odmocninu:

$\sqrt{(1+y^2\)}=\frac{C}{x}$ , kde $C\neq 0$ .
Tohle by melo byt reseni v implicitnim tvaru a pokud je pozadovano, je mozne vyjadrit i promennou y explicitne, tj. ve tvaru y=...

Dlouho uz jsem podobne veci neresila, takze me kolegove doufam opravi nebo vyklad upresni.

robert.marik

$-2C=\ln|1+y^2|+2\ln|x|$

$-2C=\ln(1+y^2)+\ln x^2$

$-2C=\ln(1+y^2)+\ln x^2$

$-2C=\ln((1+y^2) x^2)$

$e^{-2C}=(1+y^2) x^2$

$K=(1+y^2) x^2$ K>0 (je to ekvivalentní tomu výsledku, který má Jorica)

jany · 02. 05. 2008 18:54

2 a 3 riadok su rovnake,
Tomu moc nerozumiem, ako si dostal z tretieho riadku stvrty. Asi si vinal ln, ale to by potom bolo tak, nie ? mozes to objasnit ?
$-2C=ln((1+y^2)+x^2)$

plisna · 02. 05. 2008 18:57

to jany: soucet logaritmů se rovna logaritmu soucinu jejich argumentu: $\ln a + \ln b = \ln (ab)$

Jorica · 02. 05. 2008 18:58 — Editoval Jorica (02. 05. 2008 18:59)

↑ jany:
Ne, ne, logaritmus jako funkce nejde vytknout pred zavorku. Robert pouzil vztah pro soucet logaritmu, kdy soucet logaritmu lze prevest na logaritmus soucinu:

$\log a +\log b = \log (a\cdot b)$

zase pozde :)

jany · 02. 05. 2008 19:36

aha ok, dik

jany · 04. 05. 2008 13:31

A neviete kde by som nasiel nejaku zbierku na riesene priklady diferencialnych rovnic
Mame sa naucit riesit pomocou separacie premennych, dalej, riesenie s poc. podmienkou, homogenna DR, BERNOULLIHO DIFERENCIÁLNA ROVNICA , atd.......... je toho hodne ani to tu vsetko nepisem

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2008 18:50

Diferencialni rovnice

#2 01. 05. 2008 18:57 — Editoval robert.marik (01. 05. 2008 18:59)

Re: Diferencialni rovnice

#3 01. 05. 2008 19:00 — Editoval plisna (01. 05. 2008 19:01)

Re: Diferencialni rovnice

#4 01. 05. 2008 19:08 — Editoval Jorica (01. 05. 2008 19:11)

Re: Diferencialni rovnice

#5 01. 05. 2008 19:12

Re: Diferencialni rovnice

#6 01. 05. 2008 19:15

Re: Diferencialni rovnice

#7 01. 05. 2008 19:18

Re: Diferencialni rovnice

#8 01. 05. 2008 19:19

Re: Diferencialni rovnice

#9 01. 05. 2008 20:37

Re: Diferencialni rovnice

#10 01. 05. 2008 20:40 — Editoval robert.marik (01. 05. 2008 20:42)

Re: Diferencialni rovnice

#11 01. 05. 2008 20:41

Re: Diferencialni rovnice

#12 01. 05. 2008 20:44

Re: Diferencialni rovnice

#13 01. 05. 2008 20:55

Re: Diferencialni rovnice

#14 01. 05. 2008 20:59

Re: Diferencialni rovnice

#15 01. 05. 2008 21:10 — Editoval plisna (01. 05. 2008 21:11)

Re: Diferencialni rovnice

#16 01. 05. 2008 21:18 — Editoval Jorica (01. 05. 2008 21:19)

Re: Diferencialni rovnice

#17 01. 05. 2008 22:18

Re: Diferencialni rovnice

#18 02. 05. 2008 11:25

Re: Diferencialni rovnice

#19 02. 05. 2008 11:39

Re: Diferencialni rovnice

#20 02. 05. 2008 12:06 — Editoval robert.marik (02. 05. 2008 12:06)

Re: Diferencialni rovnice

#21 02. 05. 2008 18:54

Re: Diferencialni rovnice

#22 02. 05. 2008 18:57

Re: Diferencialni rovnice

#23 02. 05. 2008 18:58 — Editoval Jorica (02. 05. 2008 18:59)

Re: Diferencialni rovnice

#24 02. 05. 2008 19:36

Re: Diferencialni rovnice

#25 04. 05. 2008 13:31

Re: Diferencialni rovnice

Zápatí