Matematické Fórum

FigeraldKenedy · 31. 01. 2011 20:35

Zadání:
Na množině $\mathbb Nx\mathbb N$ definujeme binární relaci $\Re$ takto:
$(a,b) \Re (c,d) \Leftrightarrow (a <= c \wedge ab <= cd)$ , pro a,b,c,d $\epsilon \mathbb N$

1. Mám zjisti jeslti je uspořádání na množině $\mathbb Nx\mathbb N$ podle mě je to uspořádání
2. Nalezt všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny ( $\mathbb Nx\mathbb N$ , $\Re$ )
3. Jestli ( $\mathbb Nx\mathbb N$ , $\Re$ ) je svaz
4. Je zobrazení f: $\mathbb Nx\mathbb N \rightarrow \mathbb Nx\mathbb N$ dané předpisem f((a,b))=(b,a) izotonní zobrazení z ( $\mathbb Nx\mathbb N$ , $\Re$ ) do sebe?

Zdravím,
Mám hlavní problém s 2. a 4. příkladem. Když budu vědět 2. tak 3. už z toho vypadne. Normálně minimální a maximální prvky určím z toho jak vidím do toho předpisu. Ale tady nevím jak se to bude chovat když tam mám dvě uspořádané dvojce jak to zařadit do hasseovského diagramu. Chtěl bych vědět jak budou vypadat aspon nějakou vrstvu abych věděl jak se relace chová.
Minimální prvek bude asi číslo $1$ a bude jich asi víc takže jen minimální. Dá se nějak napočítat ten minimální/ maximální prvek z předpisu?

Shrnutí ptám se na:
a) jak budou uspořádané prvky podle tohoto předpisu (asi nejlepe hass. diag.)
b) minimální/maximální prvek
c) čtvrtý příklad jak vůbec na to?

Děkuji za pomoc

FigeraldKenedy · 31. 01. 2011 22:31

toto je pokus o 4. příklad
$f((a,b) \Re (c,d)) =? f (a,b) \Re f (c,d)$
$((c,d) \Re (a,b)) =? f (b,a) \Re f (d,c)$
$(c <= a \wedge cd <= ab) \not\equiv (b <= d \wedge ab <= cd)$

pokud to je dobře tak bych soudil že se nejedná o izotonní zobrazení

marvls · 27. 02. 2011 00:55

↑ FigeraldKenedy:
Myslím, že se takhle obecně nedá dokazovat izotónnost. Co to třeba znamená $f((c,d) \Re (a,b))$ ???
U množin bys měl dokázat, že $(a,b) \Re (c,d) \Leftrightarrow f(a,b) \Re f(c,d)$ pro libovolné a,b,c,d.
Což zřejmě pro a=1, c=4, b=3 a d=2 neplatí

Taky v řádku $((c,d) \Re (a,b)) =? f (b,a) \Re f (d,c)$ máš f-ka navíc, i když to vlastně nedává smysl.

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2011 20:35

Svaz a izotonní zobrazení

#2 31. 01. 2011 22:31

Re: Svaz a izotonní zobrazení

#3 27. 02. 2011 00:55

Re: Svaz a izotonní zobrazení

Zápatí