Matematické Fórum

Jan83 · 03. 05. 2008 11:51

Zdravím, měl bych prosbu, jestli byste mi mohli pomoct vyřešit dva příklady, jelikož se připravuji na zkoušku. Nejlépe by bylo, jestli byste mi mohli napsat postup od začátku do konce. Předem děkuji

int [-∞,-1/2] dx/(x^2+x+1)

int [0,1] xdx/(1-x)

Ten druhý mi vychází -[(ln 0 - ln 1)] - 1, ale nevím, jestli je to dobře.

Jorica · 03. 05. 2008 12:05 — Editoval Jorica (03. 05. 2008 17:30)

↑ Jan83:
V obou pripadech se jedna o nevlastni integral. U prvniho zadani je to videt okamzite, v dolni mezi je -oo, ale druhy priklad je opet nevlastnim integralem, protoze pro horni mez 1 neni vyraz, ktery integrujeme definovan. Pocita se to pres limitni prechod a vysledek je -oo (integral diverguje).

Jan83 · 03. 05. 2008 12:27

↑ Jorica:↑ Jorica:

Díky moc za odpověď. No tak to asi mam spatne ten 2. příklad. Mohl bys mi, prosím, rozepsat postup od začátku do konce v tom prvním a já se to pokusím pak aplikovat na ten druhý? Budu moc vděčný :)

Jorica · 03. 05. 2008 12:43

$\int_{-\infty}^{-\frac 12} \frac{\mathrm dx}{x^2+x+1}=\lim_{t \to -\infty}\int_{t}^{-\frac 12} \frac{\mathrm dx}{x^2+x+1}=\lim_{t \to -\infty}\int_{t}^{-\frac 12} \frac{\mathrm dx}{$x+\frac 12$^2+\frac 34}$

Nyni zavedu substituci
$u=x+\frac 12$
$du=dx$ , neprepocitavam meze.

a ziskany integral integruji podle vzorce

$\int \frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}=\frac 1a \arctan \frac xa$

$\lim_{t \to -\infty}\int_{t}^{-\frac 12} \frac{\mathrm du}{u^2+\frac 34}=\lim_{t \to -\infty}\[\frac{1}{\frac{\sqrt 3}{2}}\arctan \frac{u}{\frac{\sqrt 3}{2}\]^{-\frac 12}_t=\lim_{t \to -\infty}\[\frac{2}{\sqrt 3}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt 3}\]^{-\frac 12}_t=$
$=\lim_{t \to -\infty}\[\frac{2}{\sqrt 3}\arctan 0-\frac{2}{\sqrt 3}\arctan \frac{2t+1}{\sqrt 3}\]$

Uvazim-li, ze arctan 0 = 0 a arctan -oo = -pi/2, pak mi vychazi

$= 0-\frac{2}{\sqrt 3}\cdot $-\frac{\pi}{2}$=\frac{\pi}{\sqrt 3}$

Druhy priklad pocitas podobne, akorat limitou nahradis horni mez pro t jdouci k 1 zleva....me se budi dite, tak promin, jdu se venovat mladsim ;)

Marian · 03. 05. 2008 13:34 — Editoval Marian (03. 05. 2008 13:38)

↑ Jorica:

Radsi bych misto "arctan(-oo)=-Pi/2" (coz dle meho nazoru nema smysl) napsal

$\lim_{x\to -\infty}\quad\arctan x=-\frac{\pi}{2}.$

To mi pripadne korektni. Ale je to jen drobnost, myslim, ze ma poznamka asi moc neobohati tazatele.

Dalsi drobnosti je take sazeni diferencialu "dx". Jednou tam mas $dx$ , podruhe $\mathrm dx$ a ma byt spravne ${\mathrm d}x$ , resp. ${\mathrm d}u$ (vzhledm k tebou pouzitych promennych).

Jorica · 03. 05. 2008 16:44 — Editoval Jorica (03. 05. 2008 17:42)

↑ Marian:
Souhlasim s tebou, vsak o radek vis, jsem to jeste s limitou mela, ale pak jsem zaslechla syna, ze se budi a konec (ty radky co jsou tukane bez TeXu) jsem uz tosku "odflakla" ;)
A v sazbe se polepsim, dik az upozorneni, ja vzor zkopirovala odtud a nezkontrolovala jsem si, ze se to sazi spatne, pak jsem to sve jen kopirovala a prepisovalaale uz jsem se koukla na tvuj kod, jak to sazis ty.

Jorica · 03. 05. 2008 17:24 — Editoval Jorica (03. 05. 2008 17:35)

Puvodne jsem mela v umyslu to vysazet takto (aspon potrenuju, zatimco syn zase spi): ;)

$\lim_{t \to -\infty}\[\frac{2}{\sqrt 3}\arctan 0-\frac{2}{\sqrt 3}\arctan \frac{2t+1}{\sqrt 3}\]=\frac{2}{\sqrt 3}\underbrace{\arctan 0}_{0}-\frac{2}{\sqrt 3}\underbrace{\lim_{t \to -\infty}$\arctan \frac{2t+1}{\sqrt 3}$}_{\rightarrow -\frac{\pi}{2}}=$
$-\frac{2}{\sqrt 3}\cdot$-\frac{\pi}{2}$=\frac{\pi}{\sqrt 3}$
nevlastni intgral konverguje.

No a ted zkusim ten druhy priklad...a snad se polepsim v sazbe tech diferencialu ;)

$\int_{0}^1 \frac {x}{1-x}\mathrm{d}x=\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^t \frac {x}{1-x}\mathrm{d}x=-\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^t \frac {x}{x-1}\mathrm{d}x=-\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^t \frac {x-1+1}{x-1}\mathrm{d}x=$
$-\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^t $1+\frac {1}{x-1}$\mathrm{d}x=-\lim_{t \to 1^-} \[x+\ln |x-1|\]_{0}^t=-\lim_{t \to 1^-} $t+\ln |t-1|-0-\ln |-1|$=$

protoze ln 1 = 0, vychazi po uvazeni, ze t jde k 1 (zleva)

$1+\underbrace{\lim_{t \to 1^-}\ln |t-1|}_{-\infty}=-\infty$
nevlastni integral diverguje.

Jan83 · 03. 05. 2008 17:59

↑ Jorica:↑ Jorica:

Děkuji mockrát za pomoc a omlouvám se za nesprávné oslovení, z toho nicku jsem to opravdu nepoznal, že se jedná o ženu :P Krásný den :)

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2008 11:51

Určitý integrál

#2 03. 05. 2008 12:05 — Editoval Jorica (03. 05. 2008 17:30)

Re: Určitý integrál

#3 03. 05. 2008 12:27

Re: Určitý integrál

#4 03. 05. 2008 12:43

Re: Určitý integrál

#5 03. 05. 2008 13:34 — Editoval Marian (03. 05. 2008 13:38)

Re: Určitý integrál

#6 03. 05. 2008 16:44 — Editoval Jorica (03. 05. 2008 17:42)

Re: Určitý integrál

#7 03. 05. 2008 17:24 — Editoval Jorica (03. 05. 2008 17:35)

Re: Určitý integrál

#8 03. 05. 2008 17:59

Re: Určitý integrál

Zápatí