Matematické Fórum

Cipisek

Zdravím, pripravuji se na zapoctovy test a nejsem si uplne jisty jaky postup zvolit u nasledujicich prikladu, mam materialy ktere jsou psany zpusobem definice-veta, coz pro me neni dostatecne nazorne k uplnemu pochopeni a hlavne pouziti pri vypoctech v danych ulohach,
u nekolika prikladu mam trosku predstavu o postupu, ale nejsem si jisty zda-li to chapu spravne, ...(pozn. staci priblizny postup nebo i odkaz na nejaky nazorny ucebni text...)
Dekuji za pripadne reakce.

-----------------------------------------------------------------------------------
1)Napiste matici zobrazenı, ktere vektoru prirazuje jeho prumet ve
smeru (2, 0, 2) na rovinu
x − 2y + z = 0
-----------------------------------------------------------------------------------
2)Na prostoru polynomu stupne ctvrteho a mensiho naleznete
jadro zobrazenı f : y-> (x) na 2 . y´´ − 2 . (x + 2) . y´+ 6 .y.

Pozn. znamenko ´´ znaci 2. derivaci, ´ 1.derivaci
-----------------------------------------------------------------------------------
3)Prostor funkcı je dan svojı bazı K = {e0, e1, e2, e3}, kde pro
i = 0, 1, 2, 3 je ei(i dolni index) : x -> e na(2 . x) . x na (i). Urcete matici linearniho zobrazenı
l : g -> 3 . g´´ − g´ + 2 . g vzhledem k bazi K ve vychozım i cılovem
prostoru.

Pozn. znamenko ´´ znaci 2. derivaci, ´ 1.derivaci
-----------------------------------------------------------------------------------

Kondr · 03. 05. 2008 19:59

1)
Průmět ve směru (2,0,2) vektoru (a,b,c) bude určitě ve tvaru f(a,b,c)=(a,b,c)+k(2,0,2)=(a+2k,b,c+2k). Protože leží v rovině x-2y+z=0, musí pro něj platit
a+2k-2b+c+2k=0, tedy k=(2b-a-c)/4, f(a,b,c)=(a+2k,b,c+2k)=(a/2+b-c/2,b,c/2+b-a/2). Matici zobrazení získáme tak, že obrazy vektorů (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) napíšeme do sloupců:
0,5 1 -0,5
0 1 0
-0,5 1 0,5

2)
y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
$f(y)=x^2\cdot y''-2\cdot (x + 2) . y'+ 6 .y=x^2(12ax^2+6bx+2c)-2(x+2)(4ax^3+3bx^2+2cx+d)+6(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)$
Teď se to musí upravit do tvaru kx^4+lx^3+mx^2+nx+o, kde k,l,m,n,o jsou nějaké lineární kombinace souřadnic a až e.
Hledat jádro znamená zjiš?ovat, pro která a,b,c,d,e je f(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)=0, tedy kdy je k=l=m=n=o=0.
Řešíme tedy soustavu 5 rovnic o 5 neznámých.

3)
Abychom mohli sestavit matici zobrazení, potřebujeme souřadnice obrazů bázových vektorů. Pr
$e_i=e^{2x}x^i \nl e_i'=2e^{2x}x^i+ie^{2x}x^{i-1}=2e_i+ie_{i-1}\nl e_i''=(e_i')'=2e_i'+ie_{i-1}'=4e_i+2ie_{i-1}+i(2e_{i-1}+(i-1)e_{i-2})=4e_i+4ie_{i-1}+i(i-1)e_{i-2}\nl l(e_i)=3(4e_i+4ie_{i-1}+i(i-1)e_{i-2})-2e_i-ie_{i-1}+2e_i$
Zbývá za i dosadit čísla od 0 do 3. Tam, kde vychází e s indexem -1 nebo -2 má vždy koeficient 0, takže ho můžeme ignorovat.

Cipisek · 04. 05. 2008 19:20

Mockrat dekuji za velmi nazorne vysvetleni.
Jeste bych tu mel jeden malickaty priklad, tak pokud nahodou nekdo vite, tak prosim napiste.
1)Matice rovinneho pretvoreni- napiste matici rovinneho pretvoreni, ktera vektory směru a= (4,2) prodlouzi o 5% a pritom zachova smer i orientaci, vektory smeru kolmeho zkrati o 2% a take zachova smer i orientaci.... Diky

Kondr · 04. 05. 2008 23:52

Uvažme bázi B={(2,1), (-1,2)} (to jsou ty naše dva kolmé směry). Pak víme, že vzhledem k této bázi má zobrazení matici
1,05 0
0 1,02
Pokud má zobrazení vzhledem k bázi B matici Mb a matice přechodu od báze A k bázi B je rovna P, pak matice zobrazení vzhledem k bázi A je rovna
Ma=P^(-1).Mb.P (*)
Nás zajímá matice vzhledem ke kanonické bázi. Matice přechodu od B do kanonické báze je tvořena vektory B zapsanými po sloupcích:
2 -1
1 2
To je naše P^(-1).
Z ní spočteme P:
2/5 1/5
-1/5 2/5
A zbývá upočítat Ma, na což jsem (jako obvykle) moc líný...

(*) Tento vzorec si není potřeba pamatovat (osobně jsem rád, že si ho nepamatuju :o) ). Užitečnější je vidět, co to znamená. Matice zobrazení je něco, čím když vynásobím vektor zpava, tak ho zobrazím. Když vím, jak se chová zobrazení v bázi B a chci zjistit, jak se chová v bázi A, budu postupovat takto:
Převedu vektor z báze A do báze B => násobím ho zprava maticí P
Provedu zobrazení v rámci báze B => násobím maticí Mb
Převedu zpět z B do A... to je oačné, než převádět z A do B, odpovídá tomu matice P^(-1).
Abychom vektor v zobrazili v rámci báze A, násobili jsme ho zprav postupně P, Mb, P^(-1), dostali jsme tak vektor (P^(-1).Mb.P)v. Matice, která provádí zobrazení v bázi A je proto P^(-1).Mb.P.

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2008 12:10 — Editoval Cipisek (03. 05. 2008 16:02)

Linearni algebra

#2 03. 05. 2008 19:59

Re: Linearni algebra

#3 04. 05. 2008 19:20

Re: Linearni algebra

#4 04. 05. 2008 23:52

Re: Linearni algebra

Zápatí