Matematické Fórum

da.backer · 05. 02. 2011 16:16

Zdravím,

Vůbec nevím co s tím :( Poradíte ? Děkuji mnohokrát!

Mr.Pinker · 05. 02. 2011 17:08

no bude to složité ale mělo by to tak jít k bodu dotyku povede kolmice přes podobnost zjistíš kolik je R+x a pomocí toho a podobností s celým torjuhelníkem vyjádříš výšku pomocí a

claudia

Určitě lze najít úhel u základny (označme alfa) za uvědomění si, že spojnice se středem vepsané kružnice jej dělí na polovic. Při vhodném nakreslení ihned vidíme, že $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{r}{\frac{a}{2}}=\frac{2r}{a}$ . Pak lze za pomoci téhož úhlu zjistit výšku - $\tan\alpha= \frac{v}{\frac{a}{2}}=\frac{2v}{a}$ . Nakonec existuje vztah $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$ . Zbytek jsou elementární úpravy.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Definiční obor se dá snadno uhodnout - podstava musí být delší než je průměr kružnice, jinak se ta kružnice do toho trojúhelníku nevejde :-) Nicméně poctivý důkaz by byl asi pracnější.

Dana1 · 05. 02. 2011 20:32 — Editoval Dana1 (05. 02. 2011 22:34)

↑ claudia:

Zdá sa, že skrytý výsledok je ok.

Pokiaľ ide o D(f), asi treba, aby ten obsah bol kladné číslo. Menovateľ sa dá rozložiť...

(ale ja dnes nemám veľmi dobrý deň , ktovie, ako je to naozaj...)

claudia · 05. 02. 2011 22:26

Dana1 napsal(a):
↑ claudia:
Pokiaľ ide o D(f), asi treba, aby ten obsah bol kladné číslo. Menovateľ sa dá rozložiť...

Intuitivně ano. Ale striktně formálně mi to přijde jak myšlenka spadlá z nebe (podobná té, že základna nesmí být kratší než průměr). Pro úplnou správnost bychom asi měli vycházet jen z toho, že délka základny kladná a poloměr kružnice je kladný a zbytek odvodit z toho? Čekala bych, že z toho a těch gonimetrických vztahů nejprve vyplyne, že úhel u základny je od 0 do pi/2 a následně zbytek (protože záporný obsah vychází asi právě pro ty delký základny, pro které ten úhel vychází větší než pi/2).

Ale sama si tím nejsem jistá. Kdyby na to odpověděl někdo kvalifikovaný, bylo by to skvělé.

Dana1 · 05. 02. 2011 23:20

↑ claudia:

Domnievam sa, že keď sa rozloží menovateľ na súčin a uváži sa podmienka, že S musí byť kladné, čiste formálne vyplynie obmedzenie pre a.

Ale neviem, či to stačí.

Myslím, že D(f) sa určuje iba pre nezávisle premennú, pre nič iné..

claudia

Dana1 napsal(a):
↑ claudia:

Domnievam sa, že keď sa rozloží menovateľ na súčin a uváži sa podmienka, že S musí byť kladné, čiste formálne vyplynie obmedzenie pre a.

Ale neviem, či to stačí.

Myslím, že D(f) sa určuje iba pre nezávisle premennú, pre nič iné..

Ano, určitě to dává správný výsledek: $S > 0 \Rightarrow \frac{r\cdot a^3}{a^2-4r^2} > 0 \Rightarrow a^2-4r^2 > 0 \Rightarrow a^2 > 4r^2 \Rightarrow a > 2r$ , což je přesně ono "základna musí být delší než průměr...".

Já se spíše zdráhala, zda je legální znalost, že $S>0$ použít. Proč přesně je $S>0$ , zatímco $a > 2r$ samozřejmé není? (Taky to z nákresu jasně vidím.)

Pokud bychom si odmysleli, že jde o trojúhelník, a řešili jen čistě symbolickou úlohu s informací, že $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{2r}{a}$ , $\tan\alpha=\frac{2v}{a}$ , $S=\frac{av}{2}$ , $a,r>0$ , měl by nám definiční obor vyjít stále stejně(?)

Navíc kladný obsah jistě není postačující podmínka, protože vychází i pro malé záporné hodnoty délky základny, viz graf pro r=1.

Nemá smysl si těchto mých úvah všímat. Jsem deformována prostředím, kde nic není dostatečně triviální, aby to v testu nemuselo být dokázáno :-) Jen jsem se snažila vysvětlit, co přesně nepovažuji za samozřejmé :-)

EDIT: Ale ve skutečnosti ten definiční obor bez použití vztahu jako S>0, a>2r nebo v>0 asi odvodit neumím :-(