Matematické Fórum

Mat.Satan · 11. 02. 2011 21:45

Zdravim, mam problem s vyresenim nasledujiciho zadani: Nejmensi perioda funkce: y= tgx/3 spravny vysledek by mel byt 3pí/2
absolutne nevim jak postupovat pri reseni tohoto prikladu, predem dekuji za spravny postup
ps: nevim jak se pise pí nebo-li 3,14....

Dana1 · 11. 02. 2011 22:09 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 22:14)

↑ Mat.Satan:

Ak je za tg (x/3), perióda je asi 3pí, zdá sa, že aj wolfram to hovorí tu

Zistila som nulové body x/3 = 0 + k*pí / *3,

x = 3k*pí ... a z toho je vzdialenosť medzi rovnakými hodnotami (perióda) rovná 3pí, k je celé číslo (myslím)

Phate · 11. 02. 2011 22:11

a pokud je zadani $y = \frac{tan x}{3}$ pak je perioda $\pi$

Pavel Brožek · 12. 02. 2011 01:52

↑ Mat.Satan:

Obecně nejmenší periodu funkce f najdeš tak, že řešíš rovnici

$f(x)=f(x+p)$ ,

která ovšem musí platit pro každé x z definičního oboru. Zde tedy řešíme rovnici

(1) $\tan\left(\frac x3\right)=\tan\left(\frac {x+p}3\right)$ .

Tato rovnice musí platit pro všechny x z definičního oboru, takže dosadíme třeba x=0.

$&\tan\left(\frac 03\right)=\tan\left(\frac {0+p}3\right)\\ &0=\tan\left(\frac p3\right)\\ &\frac p3=k\pi\\ &p=3k\pi$ ,

kde k je celé číslo. Tím máme dostatečně omezené p, nemusíme už rovnici (1) řešit pro další x, protože vezmeme to nejmenší přípustné kladné p (to je $3\pi$ ) a snadno ověříme, že rovnice (1) s tímto p platí pro každé x z definičního oboru. Nalezli jsme tak nejmenší periodu.

Dana1 · 12. 02. 2011 07:51

↑ Pavel Brožek:

Ďakujem...

Mat.Satan · 12. 02. 2011 08:13

↑ Pavel Brožek:
dekuju za vyresni a omlouvam se, sptane jsem se podival na spravny vysledek ma to byt 3pí ;)

Dana1 · 12. 02. 2011 08:15

↑ Mat.Satan:

Ak si spokojný, uzavri prosím Ťa, tému (pri prvom príspevku vpravo dolu). Ďakujem.

Mat.Satan · 12. 02. 2011 08:21

↑ Pavel Brožek:
jeste jsem se chtel zeptat kdyz jste postupne resil rovnici tak nechapu jak jste dosel k p/3=kpí

Pavel Brožek · 12. 02. 2011 08:25

↑ Mat.Satan:

Řešení rovnice $\tan y=0$ je $y=k\pi$ , kde k je celé číslo. Pokud to nevidíš rovnou, můžeš si to ještě rozepsat:

$\frac{\sin y}{\cos y}=0$

Aby byl zlomek roven nule, musí být jeho čitatel rovný nule (a zároveň to musí být definované, což zde není problém, protože pokud má být sinus nulový, pak cosinus je určitě nenulový). Dostáváme tak

$\sin y=0$

Tady už bys měl vědět, že řešení je $y=k\pi$ . A pro nás pak $y=\frac p3$ .

xdobia09

Dobrý den,
mám podobný příklad a i podle popsaných postupů se nemohu dostat k výsledku:
$y=cotg 4x$
První krok:
$Cotg 4x=cotg(4x+p)$

Jenže cotg 0 přece není definován, to už je něco špatně mám takový pocit. Stejně tak nerozumím tomu když Pavel Brožek udělal tento krok $\tan\left(\frac x3\right)=\tan\left(\frac {x+p}3\right)$ . jakto že v čitateli není 3p ... přece po dosazení bych ke zlomku x/3 musel přičíst p/1.

Díky za pomoc

xdobia09 · 09. 03. 2014 18:00

Up ... tím že je téma označeno na vyřešené mám pocit že si toho nikdo asi nevšiml :) Děkuji předem za pomoc

janca361 · 09. 03. 2014 18:03

↑ xdobia09:
Zdravím,
a nebylo by lepší si založit vlastní téma podle pravidel s případným odkazem na toto téma?
A ano, právě z důvodu označení za vyřešené si nikdo tématu nevšiml.

xdobia09 · 09. 03. 2014 18:09

↑ janca361:
To jsem udělal, byl jsem odkázán na to, že zde se to již řešilo :)

janca361 · 09. 03. 2014 18:13

Našla jsem tvé téma, normálně bych tam napsala, co píšeš ↑ tady: a odkazem na to, že si to nepochopil.
Já ti s tímto bohužel neporadím (nevím, jak to srozumitelně vysvětlit).

coolcake

↑ xdobia09: Ahoj, ja to nerobím cez tie rovnice, proste... vždy keď je pred x nejaké číslo ako napr

$y=cotg 4x$ Tak tá 4 znamená vlastne, že perióda bude 4 krát menšia. :) Pri takýchto jednoduchých by ti to mohlo úplne vystačiť. Keď sa pozrieš na jednotkovú kružnicu, tak to aj pochopíš, že ten napr, keď dosadíš uhol 30^\circ do
$y=cotg 4x$ tak je to hodnota $120^\circ$ , čiže ako keby si 4 krát rýchlejšie obehol jednotkovú kružnicu a tým pádom aj perióda sa ti skráti...

Demonštrácia:

$y=cotg x$ má periódu $\pi$ $y=cotg \frac{x}{2}$ má periódu 2 $\pi$ Atď....

Easy na zapamätanie! :)

Edit, ak sa naučíš periódu pre všetky základné goniometrické funkcie, tak cez tieto hrátky sa rýchlo dopracuješ ku všetkému.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2011 21:45

Nejmenší perioda funkce..

#2 11. 02. 2011 22:09 — Editoval Dana1 (11. 02. 2011 22:14)

Re: Nejmenší perioda funkce..

#3 11. 02. 2011 22:11

Re: Nejmenší perioda funkce..

#4 12. 02. 2011 01:52

Re: Nejmenší perioda funkce..

#5 12. 02. 2011 07:51

Re: Nejmenší perioda funkce..

#6 12. 02. 2011 08:13

Re: Nejmenší perioda funkce..

#7 12. 02. 2011 08:15

Re: Nejmenší perioda funkce..

#8 12. 02. 2011 08:21

Re: Nejmenší perioda funkce..

#9 12. 02. 2011 08:25

Re: Nejmenší perioda funkce..

#10 09. 03. 2014 14:20 — Editoval xdobia09 (09. 03. 2014 14:20)

Re: Nejmenší perioda funkce..

#11 09. 03. 2014 18:00

Re: Nejmenší perioda funkce..

#12 09. 03. 2014 18:03

Re: Nejmenší perioda funkce..

#13 09. 03. 2014 18:09

Re: Nejmenší perioda funkce..

#14 09. 03. 2014 18:13

Re: Nejmenší perioda funkce..

#15 09. 03. 2014 18:20 — Editoval coolcake (09. 03. 2014 18:21)

Re: Nejmenší perioda funkce..

Zápatí