Matematické Fórum

pizet · 15. 02. 2011 14:29

Nekonverguje k žiadnej hodnote.

Matej1117 · 15. 02. 2011 14:46

aha no tak dik za odpovede potvrdili ste mi to :-)

Matej1117

a este by som sa chcel spytat, comu sa rovna takyto rad:

1/x + 4/x na druhu + 9/x na tretiu + 16/ x na stvrtu + 25/ x na piatu + .........
citatel je mocnina dvojky 1,4,9,16,25 a menovatel je x na n-tu....
ale iba to x je umocnene, nie cely zlomok..

Pavel Brožek · 15. 02. 2011 15:32

Takže hledáš součet řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{x^n}=\frac{1}{x}+\frac4{x^2}+\frac9{x^3}+\frac{16}{x^4}+\dots$

Označme si $y=\frac1x$ . Pak máme řadu (čárky značí derivaci podle y)

$\sum_{n=1}^{\infty}n^2y^n&=y\sum_{n=1}^{\infty}n^2y^{n-1}=y\sum_{n=1}^{\infty}$ny^n$'=y$\sum_{n=1}^{\infty}ny^n$'=\\ &=y$y\sum_{n=1}^{\infty}ny^{n-1}$'=y$y\sum_{n=1}^{\infty}\(y^n$'\)'=y$y\(\sum_{n=1}^{\infty}y^n$'\)'=\\ &=y$y\(\frac{y}{1-y}$'\)'=y$y\cdot\frac1{(1-y)^2}$'=y\cdot\frac{1+y}{(1-y)^3}=\\ &=\frac{x(x+1)}{(x-1)^3}$

Řada konverguje jen pro $|y|<1$ , tedy $|x|>1$ .

Matej1117 · 15. 02. 2011 17:11

to nie je odpoved na moju otazku.. ja chcem vediet comu sa ten rad rovna..

Matej1117 · 15. 02. 2011 17:16

ci to sa rovna tomu poslednemu vyrazu asi ze?? sorry sorry uz to vidim ok vdaka .. ja som si myslel ze si chcel poukazat iba nato ze tato rada konverguje.. ok dik velmi si mi pomohol :-)

Matematické Fórum

#26 15. 02. 2011 14:29

Re: Ako dokazat toto

#27 15. 02. 2011 14:46

Re: Ako dokazat toto

#28 15. 02. 2011 15:15 — Editoval Matej1117 (15. 02. 2011 15:16)

Re: Ako dokazat toto

#29 15. 02. 2011 15:32

Re: Ako dokazat toto

#30 15. 02. 2011 17:11

Re: Ako dokazat toto

#31 15. 02. 2011 17:16

Re: Ako dokazat toto

Zápatí