Matematické Fórum

mancini · 14. 02. 2011 22:42

Ahoj, trápí mě následující limita:
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1 - \cos x\cos 2x \cos 3x}{1 - \cos x}$

když to začnu upravovat, tak postupuju tak, že rozkládám postupně $\cos 2x$ a $\cos 3x$ na hromadu bordelu a o stránku později nemám výsledek.

Nevím jestli na to nejdu úplně špatně, nebo jestli jenom nedělám nějaký stupidní numerický chyby.

PeetPb · 14. 02. 2011 23:19

↑ mancini: zdravim, neslo by pouzit l'hospitalovo pravidlo ?

mancini · 14. 02. 2011 23:22

↑ PeetPb:
nezkousel jsem ... vyskytuje se v bloku prikladu, ktere mam resit bez derivaci ...

FailED · 15. 02. 2011 01:03 — Editoval FailED (15. 02. 2011 01:58)

↑ mancini:

Čau, stačí rozepsat a použít aritmetiku.

$\cos 2x\cos 3x=\cos x\cos 2x$\cos2x-2\sin^2x$ = \cos x\cos^2(2x)-2\cos x\cos 2x\sin^2x$
$& 1-\cos x\cos2x\cos3x=\sin^2x-\cos^2x(\cos^2(2x)-1)+2\cos^2 x\cos 2x\sin^2x= \nl &=\sin^2x$1-\cos^2x\cdot \frac{ \cos^2(2x)-1}{\sin^2x}+2\cos^2x\cos2x$ \cdots$

mancini · 15. 02. 2011 11:23

↑ FailED: tak ten první krok nechápu ...

měl jsem za to, že $\cos 2x = \cos^2x - \sin^2 x$ a ze tedy $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x\sin x$ a v momentu, kdy to pronasobim, tak se to desne rozjede

arko619xfd · 15. 02. 2011 11:36

Zdravím,
zkusil bych rozložit
$1 - \cos x\cos 2x \cos 3x=\\=(1-\cos x)(1-\cos 2x)(1-\cos 3x)+\\+\cos x(1-\cos 2x)+\\ +\cos x(1-\cos 3x)+\cos 3x(1-\cos x)$ ,
dále, po vydělení výrazem $1-\cos x$ bude první sčítanec vpravo v limitě roven nule, poslední bude roven jedné,
na prostřední dva bych použil tabulkovou limitu
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1 - \cos x}{x^2}=\frac{1}2$
a větu o limitě složené funkce, např. takto:
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x(1 - \cos 2x)}{1 - \cos x}=\\ \lim_{x\rightarrow0}\cos x\cdot \lim_{x\rightarrow0}\frac{1 - \cos 2x}{1 - \cos x}=\\ =1\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{4\cdot\frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2}}{\frac{1 - \cos x}{x^2}}=4$
podobně pro cos 3x.

FailED · 15. 02. 2011 11:44

↑ mancini:

$\cos 2x\cos x - \sin 2x\sin x=\cos 2x\cos x - 2\sin x\cos x\sin x=\cos x $\cos 2x - 2\sin^2x$$

mancini · 15. 02. 2011 12:39

↑ FailED: tak jsem to konecne dal ... vysledek je 14 ;-) Nakonec jsem na to sel spravne, ale delal jsem pocetni chyby.

Vse tipy mi usetrily asi pul stranky postupu, protoze ja rozkladal i $\cos 2x$ :-)

diky

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2011 22:42

limita s goniometrickými funkcemi

#2 14. 02. 2011 23:19

Re: limita s goniometrickými funkcemi

#3 14. 02. 2011 23:22

Re: limita s goniometrickými funkcemi

#4 15. 02. 2011 01:03 — Editoval FailED (15. 02. 2011 01:58)

Re: limita s goniometrickými funkcemi

#5 15. 02. 2011 11:23

Re: limita s goniometrickými funkcemi

#6 15. 02. 2011 11:36

Re: limita s goniometrickými funkcemi

#7 15. 02. 2011 11:44

Re: limita s goniometrickými funkcemi

#8 15. 02. 2011 12:39

Re: limita s goniometrickými funkcemi

Zápatí