Matematické Fórum

Kozina2 · 21. 02. 2011 19:04

Zdravim,
nějak si nevím rady s příkladem:

Určete hodnoty parametrů k,q tak, aby přímka y = kx + q byla tečnou hyperboly 16x(nadruhou) - 25y(nadruhou) = 400 a procházela bodem Q = [0;3].

Díky moc za každou pomoc.

Dana1 · 21. 02. 2011 19:13 — Editoval Dana1 (21. 02. 2011 19:31)

↑ Kozina2:

Vo všeobecnosti: Q má určené súradnice, leží na priamke, treba dosadiť .

Do vzniknutej rovnice vyjadriť 1 neznámu, dosadiť do druhej (hyperboly), lebo hľadáš ich spoločný bod.

Dotyčnica má s hyperbolou spoločný práve 1 bod, to znamená, že rovnica po dosadení musí mať jediné riešenie, tj jej diskriminant musí byť 0.
Z toho vyjde k.

Po úprave veľkých čísel mi vyšiel pekný výsledok.

zdenek1 · 21. 02. 2011 19:29

↑ Kozina2:
Přečti si tohle

Kozina2 · 21. 02. 2011 20:12

D mi vyšlo 55825... Vycházejí hodně velká čísla .... přitom postup mam správný :(

Cheop · 21. 02. 2011 22:10 — Editoval Cheop (22. 02. 2011 06:53)

↑ Kozina2:
Uvedu druhý způsob výpočtu:
Převedeme hyperbolu na středový tvar:
$16x^2-25y^2=400\\\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$
Pro rovnici přímky, která prochází tečnými body hyperboly a bodem Q(0,3) platí:
$\frac{(x-m)(x_0-m)}{25}-\frac{(y-n)(y_0-n)}{16}=1\\\frac{(x-0)(0-0)}{25}-\frac{(y-0)(3-0)}{16}=1\\-3y=16\\y=-\frac{16}{3}$
y-ová souřadnice tečných bodů je $-\frac{16}{3}$
Dopočítáme x -ovou souřadnici:
$\frac{x^2}{25}-\frac{16^2}{9\cdot 16}=1\\\frac{x^2}{25}=1+\frac{16}{9}\\9x^2=625\\x=\pm\,\frac{25}{3}$
Souřadnice tečných bodů:
$T_1\,\left(\frac{25}{3};\,-\frac{16}{3}\right)$
$T_2\,\left(-\frac{25}{3};\,-\frac{16}{3}\right)$
Tečny budou procházet tečnými body a bodem Q
Směrový vektor tečny t_1 (prochází body T_1, a Q)
$\left(\frac{25}{3}-0;\,-\frac{16}{3}-3\right)=\left(\frac{25}{3};\,-\frac{25}{3}\right)=(1;\,-1)$
Normálový vektor tečny:
$(1;\,1)$
Rovnice tečny:
$x+y+c=0$ - dosadíme bod Q a dopočteme c
$0+3+c=0\\c=-3$
Rovnice tečny:
$x+y-3=0\\y=-x+3$
$k_1=-1\\q_1=3$
Směrový vektor druhé tečny bude $(1;\,1)$ normálový vektor $(1;\,-1)$
Rovnice druhé tečny
$x-y+c=0$ po dosazení bodu Q
$x-y+3=0\\k_2=1\\q_2=3$
Řešení:
$k=\pm\,1\\q=3$
Obrázek: