Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 02. 2011 18:13

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Maximální řád prvku v grupě s k generátory

Ahoj,
nechť minimální počet generátorů nějaké grupy G je k (tj. existuje k prvků z G, které generují G, ale žádných k-1 prvků G negeneruje). Nechť |G|=n. Označme r(g) řád prvku g z G (tj. počet prvků podgrupy G generované prvkem g). Označme m=max{r(g); g z G}. Existuje potom nějaký netriviální horní a/nebo dolní odhad pro hodnotu m (např. v závisosti na n,k, případně na nějakých dalších "veličinách")?

Děkuji


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#2 27. 11. 2011 03:09

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

Ahoj,

Offline

 

#3 27. 11. 2011 09:34

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ FailED:


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#4 27. 11. 2011 11:51

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ check_drummer:

Offline

 

#5 07. 12. 2011 20:20 — Editoval vanok (08. 12. 2011 02:56)

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

Ahoj ↑ check_drummer:,
Studoval si pripad cyclickych grup (ine meno monogena grupa)?
Tieto groupy su generovane jednym prvkom...

Mozno toto


by ta mohlo zaujimat, i ked to neodpoveda na tvoj problem.
na pokracovanie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 14. 12. 2011 10:12

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ check_drummer:,
Ak chces mozme tu zacat studovat dost blizky problem co chces studovat cf↑ check_drummer:
generatory konecnych abelovskych grup(cize komutativnych)
Je to v teorii grup ist ako po autostrade ... a az potom zacat vseobecne studium  generatov vseobecnych grup.
Co si o tom myslis?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 14. 12. 2011 15:19

constr
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
Zdravím členy fóra,

pokusím se vyjádřit konkrétněji co nejdřív, ale úloha, kterou ↑ check_drummer: uvedl, je mi povědomá.

Pamatuji si, že se pro šetření takových otázek zaváděly určité funkce.

Téma je průřezově zpracováno zde.

Asi nebudu mít večer moc času, ještě uvidím.

Offline

 

#8 14. 12. 2011 20:03

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ constr:,
To ma zaujima.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 14. 12. 2011 20:47

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
Určitě je přínosné začít od specifického a pokračovat k obecnému. Lze obecně generátory abelovských grup nějak charakterizovat, či je dokonce pro každou abelovskou grupu nějak jednoduše určit?


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#10 14. 12. 2011 22:14 — Editoval vanok (27. 12. 2011 18:46)

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ check_drummer: a vsetci iny,

O KOMUTATIVNYCH KONECNYCH GRUPACH


UVOD

Tu ukazeme pre komutitavne konecne grupy 3 teoremy o dekompozicii komutativnej konecnej grupy G

*na p-grupy (nie povinne cyklicke)
*na cyklicke p-grupy
*na cyklicke grupy $H_1, H_2,..., H_n$ take ze rad $H_i$ deli rad$H_{i-1}$pre $i \in \{ 2, 3, ..., n \}$

Prva teorema co nas informuje o dekompozicii komutativnej konecnej grupy G na p-grupy (nie povinne cyklicke) $G_p$: p-zlozky grupy G (Rad  $G_p$ sa da vyjadrit ako funkcia radu $G$...to doplnim neskor) je

$T1$ teorema 1
Kazda komutativna konecna grupa G je priamy sucet (somme directe) p-grup $G_p$ na mnozine prvociselnych delitelov $D$ radu grupy $G$:
$G=\bigoplus_{p\inD} G_p$


*****
Pred dokazom precitajte vsetko az do po cvicenie 9). Veta 1 $V1$ nam posluzi v dokaze teoremy 1 $T1$


Term p-grupa, znamena ze vsetki prvky takej grupy maju periodu, nejaku mocninu p (p>0 prvocislo).
PRIKLADY:
$\frac {\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}$ je 2-grupa radu 4.

$\frac {\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ nie je p-grupa, ma prvky radu 2, 3 alebo 6
Klein-ova grupa $\( \frac {\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\) X \( \frac {\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\)$ je 2-grupa radu 4
Cvicenia:
1)Je $\( \frac {\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}\)X \(\frac {\mathbb{Z}}{9\mathbb{Z}}\)$  jedna p-grupa?


2)Existuju aj nekonecne p-grupy?



3)Pre ktore $ n$, $\frac {\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ je p-grupa?
*****
POJEM:priamy sucet (somme directe)
Nech $(G,+)$ je komutitavna aditivna groupa a nech
$H_1$, $H_2$,...a $H_n$ su podgrupy grupy $G$.
$G$ je priamy sucet podgrup $H_i$ ak kazdy prvok $x \in G$
sa pise JEDNOZNACNE


$x=h_1+ h_2+ ... + h_n= \sum_{i=1}^{n}h_i $
kde $h_i \in H_i$.
To sa pise $G= H_1 \bigoplus H_2 \bigoplus ...\bigoplus H_n=\bigoplus_{i=1}^n H_i .$

PRIKLADY:
Pre kazde $z \in \mathbb{C}$ mame jednoznacne $z=a +ib$ kde $a \in \mathbb{R}$ a   $b \in \mathbb{R}$. $ \mathbb{R}$$i \mathbb{R}$ su aditivne podgrupy grupy  $ \mathbb{C}$ a
$ \mathbb{C}= \mathbb{R}\bigoplus  i \mathbb{R} $

V $ \mathbb{Z}^2$, polozme $e_1= (1, 0)$ a $e_2= (0, 1)$.
Tak mame
$\mathbb{Z}^2=\mathbb{Z}e_1\bigoplus \mathbb{Z}e_2$

Cvicenie:
4) Pre prirodzene cislo $n \ge 0$ a $\mathbb{C}_n[X] $ aditivna grupa polynomov, z komplexniny koeficientamy,  najviac stupna $n$
Polozme  $G_k = \{ aX^k :a \in \mathbb{C}\}$.
Dokazte ze $G_k$ je aditivna podgrupa grupy  $\mathbb{C}_n[X] $;
a ze $\mathbb{C}_n[X] $ je priamy sucet grup $G_k$.


Teraz tu ukazeme aka je relacia  medzi "priamov sumov" a "sumov"  podgrup nejakej grupy

$V1$ veta 1
Aditivna grupa $G$  je priamy sucet jej podgrup $H_1$, $H_2$,...a $H_n$  len a len ked
a) $G=\sum_{i=1}^{n}H_i$
b) $\forall j \in \{1, 2, ..., n\} :H_j \bigcap(\sum_{i \ne j}H_i)= \{0\}.$
Dokaz: cvicenie 5)


Tato veta je uzitocna na dokaz $ T1$, teoremy1
cvicenie 6) Sucet$a \mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$ kde $a, b \in\mathbb{Z}$
nie je nikdy priamy.
*****
Pre $p>0$ prvocislo take ze deli rad nejakej grupy $G$,
mnozina$G_p$ prvkov z $G$ ktorych rad je nejaka mocnina z $p$je podgrupa grupy $G$; a vola sa p-zlozka grupy $G$.
Priklad: $\frac {\mathbb{Z}}{12\mathbb{Z}}$ma 2-zlozku $G_2$ a 3-zlozku $G_3$
take ze :
$G_2=\{0, 3, 6, 9 \}$
$G_3= \{0, 4, 8\}$

Cvicenie 7)  $\frac {\mathbb{Z}}{24\mathbb{Z}}$)
Cvicenie 8) Dokazte ze  $\frac {\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ je priamy sucet jej p-zloziek.
Cvicenie 9) Ako to je z $\frac {\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$?
**********
Teraz sa vratme k $T1$
Tato teorema je existecna teorema rozkladu na p-grupy, a vdaka nej mozeme povedat, ze nejaka konecna komutativna grupa $G$, radu $n=p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_k^{m_k}$ je taka ze
$G= G_{p_1} \bigoplus G_{p_2} \bigoplus ... \bigoplus G_{p_k} $

PRIKLAD:
Cize vdaka  $T1$ mozme pisat ze na priklad
$\frac {\mathbb{Z}}{8\mathbb{Z}}=G_2$
$\frac {\mathbb{Z}}{30\mathbb{Z}}=H_2 \bigoplus H_3 \bigoplus H_5$
$\frac {\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}} X\frac {\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}=K_2 \bigoplus K_3$
uz pred tym ako sme uplne urcili grupy $G_p$

Tento vysledok nam moze casto byt uzitocny:
$x \in G_p <=> \exists k \in \mathbb{N}; p^k x=0$

Este jedno  riesene cvicenie.
Cvicenie 10)
$T1$ nam da ze $\frac {\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}=G_2\bigoplus G_3$

$x + 6\mathbb{Z}  \in G_2 <=>  \exists k  \in \mathbb{N}; 2^k (x + 6\mathbb{Z} )=0
<=> x \in 3 \mathbb{Z}$
co znamena:
$G_2=\frac {3\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ a je izomorfne z$ \frac {\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$
Podobne
$G_3=\frac {2\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ a je izomorfne z$ \frac  {\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$
Z toho mame:
$ \frac {\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}=\frac {3\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}\bigoplus \frac {2\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$

Poznamka: isomorfizmy medzi
$\frac {3\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ a $ \frac { \mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$
$\frac {2\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ a $ \frac{ \mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$
$\frac {3\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}\bigoplus \frac {2\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ a $ \frac {3\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}X \frac {2\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$
nam daju len  ze
$\frac {\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ je izomorfne z $\frac {3\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}X \frac {2\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$

Mozte studovat podrobne vsetki tieto izomorfismy.

Je uzitocne  porozmyslat aky je rozdiel medzi rovnostou a izomorfizmom grup.


**********************************************************
Pozrime sa teraz na  konecne cyklicke grupy.
Bud $n \ge 1$ cele cislo, take: $n=p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_k^{m_k}$ je rozklad n  na primarne faktory a nech  $G$ radu n, ( cize $G= \frac {\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$)
Pre $1 \ge i \ge k$, polozne $G_{p_i}$ zlozku p_i-primarnu grupy $G$. Dokazme, ze rad $G_{p_i}$ je $ p_i^{m_i}$.
Akoze $G$ je cyklicka, existuje podgroupa $H$ grupy $G$ ze jej rad je $ p_i^{m_i}$.
****************************


Poznamka Tuto temu(komutativna konecna grupa) budem doplnovat v tomto ramecku ...pre lepsiu citatelnost.
Najprv tu dam tri teoremy o dekompozicii a az potom dopl \innim ich dokazy.
Tieto riadky su podla mojich osobnych poznamok z roznych prednasok,seminarov, diskusii z kolegmy  .... literaturu dam na konci tohoto projektu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 15. 12. 2011 13:00

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

vanok napsal(a):

Term p-grupa, znamena ze vsetki prvky takej grupy maju periodu, nejaku mocninu p.
priklady:
$\frac Z{4Z}$ je 2-grupa radu 4.

Tedy p je dle definice prvočíslo?
Uvažujeme grupy $\frac Z{4Z}$ s operací "+" nebo s jinou operací?
Periodou je zde myšlena libovolná perioda nikoli nejmenší, že? Např. prvek 0 má (pokud se jedná o grupy se sčítáním) periodu 1, ovšem tedy i kteroukoliv další vyšší, že?


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#12 15. 12. 2011 14:10

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ check_drummer:
Dakujem.
Prva poznamka:
ano p je prvocislo, dal som to explicitne do definicie



Tvoja druha poznamka:MAS ZASA PRAVDU
Term p-grupa, znamena ze vsetki prvky takej grupy maju periodu, nejaku mocninu p (p>0 prvocislo).
ze medzi ich periodami je jedna taka ako ze...
Prave to bol problem  pre mna, ako to napisat aby aj neutralny prvok bol v tom.....

Pridam, prioritne,  pred tym ako pojdem dalej aj pojem priamej sumy ( a tiez overim ci sa tento vyraz v Cz a Sk pouziva)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 15. 12. 2011 21:57

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
Ke cvičení 1) V $\( \frac Z{3Z}\)$ mají prvky řád 1 nebo 3 a v $\( \frac Z{9Z}\)$ mají prvky řád 1,3 nebo 9 (tipuji), přičemž řád 1 nastane jen u prvků 0. Takže pro (i,j) j=0 máme řád 1 nebo 3 a pro j<>0 máme řád 3 nebo 9 (řád prvku v grupě dané první složkou dělí řád prvku v grupě dané druhou složkou). Takže dle mého jde o 9-grupu řádu 27. Snad jsem tu úvahu moc neodbyl a něco neopomenul.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#14 15. 12. 2011 22:07

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
Ke cvičení 2) co třeba vyjít ze cvičení 1) a sestrojit např.: $\( \frac Z{3Z}\)X \( \frac Z{9Z}\)X...X\( \frac Z{3^iZ}\)X...$


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#15 15. 12. 2011 23:42 — Editoval vanok (16. 12. 2011 01:38)

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ check_drummer:,

cvicenie 1).

Nie $\( \frac Z{3Z}\)X \( \frac Z{9Z}\)$ je 3-grupa... podla definicie vysie.


Vsetki prvky maju rad nejaku mocninu 3roch


cvicenie 2)

Ano je to dobra myslienka... potrebuje to len trochu viac formalizovat.


Dam trochu iny priklad:

Polozme $G_n=\( \frac Z{5Z}\)$ kde $n\ge 1$

Prvky  $G=\Pi_{n\ge 1}G_n$ su postupnosti $ (x_n)_{n\ge 1}$ ,
polozme $ (x_n)_{n\ge 1}+ (y_n)_{n\ge 1}= (x_n+y_n)_{n\ge 1}$.
G s  tymto zakonom je nekonecna 5-grupa.


Zda sa  mi ze si chcel urobit nieco podobne.

pridal som cvicenie 3)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 16. 12. 2011 07:41

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
Ano, pardon, je to 3-grupa nikoli 9-grupa (9 je už mocnina 3).
K té konstrukci - Tvá je jednodušší - "opakuješ" v kartézském součinu stejnou strukturu, ta moje je komplikovanější a důkaz, zda je to p-grupa, by byl složitější (pokud to vůbec p-grupa je).


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#17 16. 12. 2011 07:42

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
Ke cvičení 3 - takhle bez přemýšlení bych řekl, že pro n, která jsou mocninou nějakého prvočísla.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#18 16. 12. 2011 12:16

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ check_drummer:,
Ano, dobra intuicia, a mozes urobit dokaz...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 16. 12. 2011 13:12 — Editoval constr (18. 12. 2011 23:54)

constr
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

Řešením pro konečné komutativní grupy je $m=|Syl_{p}|$ tedy řád Sylowovy p-podgrupy.

- na základě věty o primárním cyklickém rozkladu modulů (kde obor hlavních ideálů se položí $\mathbb{Z}$) a definice Sylowovy grupy.

Nechť řád grupy $G$ je $n=p^{e}m$, přičemž druhý činitel $m$ je s $p$ nesoudělný. Protože každá konečná p-grupa má za řád určitou mocninu $p^{f}$, musí každá p-grupa, která je podgrupou grupy $G$, mít za řád určitého dělitele mocniny $p^{e}$. Potom p-grupa $P\subset G$ s maximálním možným řádem $p^{e}$ se nazývá Sylowova p-podgrupa grupy $G$. Z této definice vyplývá, že grupa $S\subset G$ je Sylowova p-podgrupa grupy $G$ právě tehdy, když řád grupy $S$ je mocninou prvočísla $p$ a index $[G:S]$ je s $p$ nesoudělný.

Z věty o cyklickém rozkladu, kterou uvádí ↑ vanok: vyplývá, že konečná komutativní grupa $H$ je izomorfní direktní sumě $T_{p_{1}}(H)\bigoplus ... \bigoplus T_{p_{k}}(H)$ konečného počtu podgrup p-grupy $T_{p}(H)$ .
Každý faktor $T_{p_{k}}$ je $p_{i}$-podgrupa, takže jeho řád je nějaká mocnina $p_{i}^{e_{i}}$. Tedy řád grupy $H$ je $n=p_{1}^{e_{1}}...p_{k}^{e_{k}}$. To ukazuje, že k-tice prvočísel $p_{1},...,p_{k}$ obsahuje všechny prvočíselné dělitele čísla $n$. Z toho vyplývá, že každá podgrupa  $T_{p_{i}}(H)$ je Sylowova $p_{i}$-podgrupa grupy $H$. Tato podgrupa byla definovaná tak, že obsahuje všechny prvky grupy $G$, jejichž řád je nějaká mocnina $p^{f}$, tedy musí obsahovat každou $p_{i}$-podgrupu grupy $H$. Speciálně $T_{p_{i}}(H)$ je jediná  $p_{i}$-podgrupa řádu $p_{i}^{e_{i}}$, takže je jedinou Sylowovou  $p_{i}$-podgrupou grupy $H$.

Shrnutím pak skutečně můžeme tvrdit:
Nechť $p$ je prvočíslo, které dělí řád konečné abelovské grupy $H$. Grupa $H$ obsahuje právě jednu Sylovowu p-podgrupu, kterou stručně budeme značit $Syl_{p}$. Tato podgrupa obsahuje všechny p-podgrupy grupy $H$ a $H$ je direktní sumou  (bisoučinem, bisúčinem, biproduct) svých $Syl_{p}$.

Offline

 

#20 17. 12. 2011 21:32

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

Dnes som pridal pojem priamej sumy grup
cvicenie 4)
+ esteticke upravy


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#21 18. 12. 2011 18:29 — Editoval check_drummer (18. 12. 2011 18:55)

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
ke cvičení 4) - podle mého je zřejmé, jen je nutné uvažovat i k=0 a definovt, co je $X^0$.
ke cvičení 5) - implikace "=>" je zřejmá (neformálně): a) každý prvek z G získáme nějakým součtem, b) součet je jednoznačný - v případě, že by průnik v bodu b) obshoval další prvek, je jednoznačnost porušena.
cvičení 5) implikace "<=": existence vyjádření x z definice přímého součtu plyne z a), jednoznačost: platí-li
$ h_1+ h_2 +... + h_n=h'_1+ h'_2 +... + h'_n$, pak je i
$ g_1+ g_2 +... + g_n=0$ pro $g_i:=h_i-h'_i \in H_i$. Pokud jsou všechna $g_i=0$, tvrzení platí. Dále lze (pro spor) předpokládat, že jsou všechna $g_i\neq 0$. Pro $h := g_2 +... + g_n$ je h inverzí ke $g_1$, ovšem tím jsme inverzi k $g_1$ vyjádřili pomocí sumy prvků ostatních grup a to je spor s b).


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#22 18. 12. 2011 18:53 — Editoval vanok (18. 12. 2011 18:53)

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ check_drummer:,
Dakujem:
Ano treba uvazovat pochopitelne aj k=0 .... opravil som to

Dnes vecer pridam moj formalny  dokaz vety1... ale nasiel si metodu dokazu (to je to najtazsie). :-)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#23 18. 12. 2011 19:09

check_drummer
Příspěvky: 3683
Reputace:   89 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

↑ vanok:
Důkaz 3 mě napadá, ale spíš jen myšlenka - a ani nevím, zda správná: indukcí podle k, kde velikost grupy G je $p^k$. Pro k=1 zřejmě platí, protože p je prvočíslo, pro obecné k tvoří G celkem p kopií $G_i$ velikosti $p^{k-1}$, tj. po aplikaci $p^{m}$ kroků (pro nějaké m) získáme iterací prvku x prvek $x_1:=x+c.p^{k-1}$. Je-li c=0 jsme hotovi a není-li uvažujeme další iteraci prvku $x_1$ opět o $p^m$ kroků a přesně po p iteracích získáme prvek x (vlastně teď iterujeme v grupě o velikosti p, kde každou $G_i$ považujeme za jeden prvek a získáme po každé iteraci různou hodnotu c). Je to ale dost neformální vyjádření.

Obrácená implikace je jasná - pro n=a.b obsahují a,b různého prvočíselnéh odělitele a a,b iterujeme b,a kroky a neexistuje násobek b,a obsahující stejného prvočíselného dělitele.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#24 18. 12. 2011 23:00 — Editoval vanok (19. 12. 2011 00:08)

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

Ahoj ↑ check_drummer:,
Ja to  vidim jednoduchsie.

$\frac {\mathbb{Z}}{n \mathbb{Z}}$je p-grupa pre kazde $n=p^k$ ,  kde $p\in\mathbb{N}$ je prvocislo.
A reciprocne:
Ak n nema tuto forme existuju dve prvocisla p, q a  mame prvok radu p, radu q .....


Myslis ze to staci? to moje riesenie.


Ty ides dalej ako ja, lebo chces riesit vo vseobecnejsom pripade ako je ten problem.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#25 18. 12. 2011 23:34 — Editoval vanok (19. 12. 2011 00:09)

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Maximální řád prvku v grupě s k generátory

dnes som pridal uplne riesenie cvicenia 5), co je vlastne dokaz vety $V1$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson