Matematické Fórum

pizet · 24. 02. 2011 18:35

Ahojte, len sa chcem uistiť.

Ak máme reláciu "<", označme ju R, na množine $\mathbb{R}$ , tak ju môžeme zapísať $\{(x,y);x\in\mathbb{R},y\in(x;\infty)\}$ . No a teda ak máme reláciu $R\circ R$ , môžeme ju zapísať: Nech g je infimum množiny $(x,\infty),x\in\mathbb{R}$ , potom $R\circ R = \{(x,y);x\in\mathbb{R},y\in (g;\infty)\}$ ?

check_drummer · 24. 02. 2011 21:14

Vzhledem k tomu, že jsou oba intervaly otevřené, tak nevidím mezi R a RoR rozdíl...

Oxyd · 24. 02. 2011 22:06

$\inf_{\mathbb{R}} (x, y) = x$ , takže ty dva zápisky skutečně značí stejnou množinu. (Může být i y = +oo a platí to stejně.)

A skutečně, co je R o R? To je množina { (x, z) : (existuje y) xRy & yRz }. Neboli { (x, z) : (existuje y) x < y & y < z }. Jenomže v reálných číslech, pokud je x < z, tak tam vždycky existuje nějaké to y, které je mezi nima. A naopak, pokud existuje y, že x < y & y < z, tak z tranzitivity < plyne, že x < z. Tedy xRz <=> x (R o R) z, tedy R = R o R.

pizet · 02. 04. 2011 15:34

Prepáčte, že vyťahujem mesiac starú tému.

↑ Oxyd:

Popíšem vec, ktorú si celkom neviem predstaviť.

Začnime s mojou predstavou relácie < na množine $\mathbb{R}$ všetkých reálnych čísel (ospravedlňujem sa za nematematické vyjadrenia): Predstavme si jednu množinu $\mathbb{R}$ ako číselnú os (priamku) a ďalšie dve množiny ako dve rovnobežné priamky s prvou. Máme teda tri vedľa seba rovnobežné priamky. Medzi prvou a druhou si vyznačíme < šípkami a tak isto to spravíme aj medzi druhou a treťou primakou.

Ak pre neajaké x na prvek priamke existuje nejaké z na tretej priamke musí sa dať od x prejsť po šípkach k z.

Ak sa v tomto prípade zložená relácia rovná pôvodnej, tak sú prvky v zloženej relácií rovnako pospájané šípkami.

Na druhej priamke majme nejaké y, také, že x -> y, teda x < y. Ak sa založená relácia rovná, tak mdezi druhou a treťou priamkou musí byť šípka y -> y. To ale nemôže byť, lebo neplatí, že y < y.

Ja vám samozrejme ale verím, že tie relácie majú byť zhodné, len neviem v čom je problém v mojej predstave.

Asi tam bude nejaký zádrhel s tými reálnymi číslami.

Ďakujem.

jarrro · 02. 04. 2011 15:56

$\left(x;y\right)\in < \Rightarrow \exists z\in \mathbb{R} ; \left(x;z\right)\in <\wedge \left(z;y\right)\in <\Rightarrow \left(x;y\right)\in <\circ <\nl\left(x;y\right)\in <\circ < \Rightarrow \exists z\in \mathbb{R} ; \left(x;z\right)\in <\wedge \left(z;y\right)\in <\Rightarrow \left(x;y\right)\in <$ prvý riadok je založený na tom,že medzi dvoma reálnymi číslami leží reálne číslo a druhý z definície zloženej relácie a z tranzitívnosti relácie <

pizet · 02. 04. 2011 16:05

↑ jarrro: Jáj. To isté napísal aj Oxyd. Už som ale pochopil, ďakujem a viem si to už aj predstaviť.

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2011 18:35

Skladanie relácií

#2 24. 02. 2011 21:14

Re: Skladanie relácií

#3 24. 02. 2011 22:06

Re: Skladanie relácií

#4 02. 04. 2011 15:34

Re: Skladanie relácií

#5 02. 04. 2011 15:56

Re: Skladanie relácií

#6 02. 04. 2011 16:05

Re: Skladanie relácií

Zápatí