Matematické Fórum

jendaaa

Mám následující zadání:

Nechť je f: $\mathbb R^2$ $\rightarrow$ $\mathbb R^3$ lineární zobrazení.

Platí: f $\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ , f $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Je f tímto zadáním jednoznačne určeno?

Určete dále tyto množiny:

1. ker(f)

2. {x $\in$ $\mathbb R^2$ | f(x) = $\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ }

3. {x $\in$ $\mathbb R^2$ | f(x) = $\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ }

Nevím, jak můžu dokázat jednoznačnost lineárního zobrazení a pak vůbec nevím ani co dělat s těma 3 úkolama, takže budu rád za každou radu, protože je to zatím trápení ;-)

OiBobik · 02. 03. 2011 18:10

Zobrazení jednoznačně určeno je, stačí si uvědomit, že vektory $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ jsou bází $\mathbb R^2$ - každý vektor $u \in \mathbb R^2$ lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinace těch dvou vektorů, tj. $\forall u \in \mathbb R^2 : u= r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ , kde $r,s \in \mathbb R$ a jsou určeny jednoznačně. Z lineárních vlastností zobrazení f plyne, že $f(u)= r \cdot f \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot f \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ , kde $r,s$ jsou ty samé koeficienty. Tedy pro každý vektor z $\mathbb R^2$ máme jednoznačně určenou jeho funkční hodnotu.

OiBobik · 02. 03. 2011 18:34

Když tak teď koukám na ten zbytek, tak je to celkem vtipně vymyšlený : ))

Jak jsem už napsal, tak $f(u)= r \cdot f \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot f \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ , protože ale $f \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ , můžu klidně napsat, že $f(u)= (r + s) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ , aby platilo $f(u)=0$ , musí platit $r=-s$ , splňují to tedy právě ty vektory $u \in \mathbb R^2$ , pro něž platí $u = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} - r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}= r \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \right) = r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ , tedy $Ker(f)$ je nějaká přímka generovaná vektorem $\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ . Stejnou nebo podobnou úvahou lze zjistit to b) (tam se akorát r+s=2, partikulární řešení je 2*první vektor (například) a k tomu přilepit cokoli z Ker(f)) a c) (prázdná množina - žádný vektor nevyhovuje)

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2011 16:59 — Editoval jendaaa (02. 03. 2011 17:08)

Lineární zobrazení

#2 02. 03. 2011 18:10

Re: Lineární zobrazení

#3 02. 03. 2011 18:34

Re: Lineární zobrazení

Zápatí