Matematické Fórum

Matik · 05. 03. 2011 15:19 — Editoval Matik (06. 03. 2011 20:09)

zdravim, potreboval bych pomoc s dukazem integralu iracionalni funkce

$\int \frac{dx}{x\sqrt{ax^2 + bx + c}} = \frac{1}{\sqrt{-c}} \arcsin \frac{bx + 2c}{x \sqrt{b^2 - 4ac}} + konst.$ , kde $c < 0$

předpoklad $c < 0$ proto bych použil Eulerovu substituci $\sqrt{ \mathrm{a} x^{2} + \mathrm{b}x + \mathrm{c} } = \sqrt{a}x + t$

z čehož mi $x = \frac{t^2 - c}{b - 2\sqrt{a}t}$

a $dx = \frac{2tb -2\sqrt{a}t^2- 2\sqrt{a}c}{b - 2\sqrt{a}t}dt$

dosadil jsem za $x, dx$ do integrálu $\int \frac{dx}{x(\sqrt{a}x + t)}$ , ten mi vyšel však velmi složitý a nevím si s ním dále rady ... jistě tam asi bude fígl, jak pokračovat v následné úpravě ...

dekuji

jelena · 10. 03. 2011 00:06 — Editoval jelena (10. 03. 2011 00:36)

Zdravím,

nějak to zapadlo. Pokud jsem nic nepřehledla, tak (snad překlep?) v derivaci (chybí 2. mocnina v jmenovateli)

Po dosazení mi vyšlo:

$\int \frac{2$tb-\sqrt{a}t^2-\sqrt{a}c$}{$b - 2\sqrt{a}t$^2}\cdot \frac{$b-2\sqrt{a}t$^2}{$t^2-c$$tb-\sqrt{a}t^2-\sqrt{a}c$}\mathrm{d}t$

Po vykrácení by to nebylo moc složité (ještě se podivám, zda jsem něco nepřehledla, protože z takového výsledku bych nedostala arcsin po integrování)

EDIT: teď se mi nezdá už samotný návrh substituce, neb jsem nenašla substituci pro c<0. Upřesní, prosím, jak byla zvolena. Děkuji.

Matik · 17. 03. 2011 09:35

zdravím,

děkuji moc za příspěvek. Z konzultaí jsem získal jednodušší způsob řešení. Pro zajímavost:

Substituce:
$t = \frac{1}{x},\,\, \mathrm{tzn.} \,\,x = \frac{1}{t}, \,\, t > 0\\ dx =\frac{- dt}{t^2}$

Po úpravách získáme:
$-\frac{1}{\sqrt{-c}} \int\frac{\displaystyle \mathrm{d}t}{ \sqrt{\frac{- a}{c} - \frac{bt}{c} - t^2 }}$

Spodní člen pod odmocninou upravíme rozšířením na čtverec:
Získáme tak:
$\frac{1}{\sqrt{-c}} \int\frac{\displaystyle 2c\, \mathrm{d}t}{ \sqrt{D - (2ct + b)^2 }}$ ,
kde D je známý diskriminat

Zavedeme opět substituci:
$w\sqrt{D} = 2ct + b\\ \sqrt{D}\,\, \mathrm{d}w =2c\,\, \mathrm{d}t$
ˇ
Úpravami získáme:
$\frac{1}{\sqrt{-c}} \int\frac{\displaystyle \mathrm{d}w }{ \sqrt{1 - w^2 }}$

Aplikací vzorce získáme:
$\frac{1}{\sqrt{-c}} \arcsin w + \mathrm{konst.}$

w získáme návraty substitucemi:
$w = \frac{2c + bx}{x\,\,\sqrt{b^2 - 4ac}}$

jelena · 17. 03. 2011 10:33

↑ Matik:

Také moc děkuji. Ať se daří.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2011 15:19 — Editoval Matik (06. 03. 2011 20:09)

integral iracionalni funkce

#2 10. 03. 2011 00:06 — Editoval jelena (10. 03. 2011 00:36)

Re: integral iracionalni funkce

#3 17. 03. 2011 09:35

Re: integral iracionalni funkce

#4 17. 03. 2011 10:33

Re: integral iracionalni funkce

Zápatí