Matematické Fórum

Los · 14. 05. 2008 00:06

Zdravím, nevím si rady s částí příkladu:
Dokažte, že funkce F(x)=(-cos^4x)/4 a funkce G(x)=(sin^2x)/(2) - (sin^4x)/(4) jsou primitivní k téže funkci f(x)=sinx*cos^3x a najděte konstantu, o kterou se liší.

Druhou část příkladu (konstantu) jsem schopná vyřešit, nicméně s první si příliš nevím rady. Asi by to chtělo obě funkce (F i G) zderivovat, ovšem stále mi to vychází nějak škaredě a netuším, zda tohle je to jediné co je potřeba udělat.

Děkuji za případnou pomoc :)

lukaszh · 14. 05. 2008 10:00

Derivujes ako zlozenu funkciu:
$\left(-\frac{\cos^4x}{4}\right)'=-\frac{1}{4}\left(\cos^4x\right)'=-\frac{1}{4}\left(-4\cos^3x \sin x\right)=\cos^3x\sin x$
$\left(\frac{sin^2x}{2}\right)' - \left(\frac{sin^4x}{4}\right)'= \frac{1}{2}\left(\sin^2x\right)'-\frac{1}{4}\left(\sin^4x\right)'= \frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)-\frac{1}{4}\left(4\sin^3x\cos x\right)= \sin x\cos x-\sin^3x\cos x=\nl =\sin x\cos x(1-\sin^2x)=\sin x\cos^3x$

robert.marik · 14. 05. 2008 10:51

No kdyz vime, ze se lisi o aditivni konstantu, tak je jasne ze derivace vyjdou stejne a prvni cast tedy plyne trivialne z druhe casti.

Los · 14. 05. 2008 12:17

Díky :) Problém byl v tom, že jsem nevěděla co s tim cos^4x a už mi to asi došlo :)

Sice je jasné, že derivace vyjdou stejně, jenže kdybych takovýto příklad náhodou dostala na maturu, tak se obávám, že by jim taková odpověď nestačila a musela bych začít derivovt :)

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2008 00:06

Integrální počet - důkaz primitivní funkce

#2 14. 05. 2008 10:00

Re: Integrální počet - důkaz primitivní funkce

#3 14. 05. 2008 10:51

Re: Integrální počet - důkaz primitivní funkce

#4 14. 05. 2008 12:17

Re: Integrální počet - důkaz primitivní funkce

Zápatí