Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 20. 03. 2011 17:17
Dirichletův princip
Mohu poprosit o pomoc s těmito příklady?
Z každých dvanácti různých dvojciferných přirozených čísel lze vybrat dvě čísla, jejichž rozdíl je dvojciferné číslo zapsané stejnými diframi. Dokažte
Dokažte že každé přirozené číslo má (nenulový) násobek, jehož dekadický zápis obsahuje pouze cifry 0 a 9.
Děkuji všem za rady, důležitější je ten 1. příklad
Offline
#2 20. 03. 2011 19:42
Re: Dirichletův princip
Ahoj,
Muj nápad na ten první příklad:
a) Každé dvojciferné číslo zapsané stejnými ciframi je násobek 11 (11,22,33,44,...)
b) Každé dvojciferné číslo si mohu vyjádřit jako x=11k + a, přičemž 'a' může nabývat hodnot 0-10 a 'k' 0-9
c) Podle Dirichletova principu pokud 'a' může nabývat 11 hodnot a máme 12 čisel, existuje alespoň 1 dvojice u které má 'a' stejnou hodnotu
d) (11*k_1 + a) - (11*k_2 + a) = 11(k_1 - k_2)
Offline
#3 20. 03. 2011 21:42
Re: Dirichletův princip
Díky za tip, ale moc nechápu krok b)
dvojicferné číslo si přeci mohu zapsat jako 10k+a, a "k" nemůže být 0, takže může být 1-9 a "a" může být 0-9.
Podle tebe mohu dostat i trojciferná čísa, když si za "k" dosadím 9 a za "a" číslo větší než 0.
Jinak díky, určitě mi to pomohlo, jenom tenhle krok mi pořád není jasný.
Offline
#4 20. 03. 2011 22:08 — Editoval Moabiter (20. 03. 2011 22:11)
Re: Dirichletův princip
Jakékoli číslo si můžeš vyjádřit jako 11k + a, nebo třeba 5k + a, 3k + a, kdy 'a' je zbytek po dělení.
V tomto případě se nám hodí zrovna 11k + a abychom dokázali dělitelnost 11.
Mohl jsem tam možná ještě připsat, že x patří do <10;99> jako podmínku a z toho by plynulo, že pokud k=0 pak a=10 a pokud k=9 pak a=0, ale už jsem to tím nechtěl komplikovat, protože to není podstatné.
To co je v tom důležité nejsou hodnoty, kterých může nabývat k, ale hodnoty kterých může nabývat 'a', protože na to pak lze aplikovat pravidlo.
Jinak o Dirichletově principu, jsem slyšel poprvé až v názvu topicu a přečet jsem si o něm na wikipedii, takže to třeba jde i udělat nějak jinak :)
Offline