Matematické Fórum

informatik

Poradil mi někdo jak na to?

Najďete množinu reálných čísel takovou, že tato množina vybavená operací
$a \oplus b = a + b + ab$
tvoří grupu

Díky

Lishaak · 16. 05. 2008 21:51

Pojdme na to:

Aby byla mnozina grupou, musi byt vybavena asociativni operaci, neutralnim a inverznim prvkem.

Nejprve overime asociativitu

$(a \oplus b) \oplus c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + ab + c + ac + bc + abc$
$a \oplus (b \oplus c) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc$

Vidime tedy, ze operace je asociativni pro vsechna realna cisla.

Hledejme nyni neutralni prvek. Vidime, ze staci polozit e=0 a plati

$a \oplus e = a + e + ae = a + 0 + a0 = a$
$e \oplus a = e + a + ea = 0 + a + 0a = a$

Nyni uz staci najit inverzni prvek, tedy takovy prvek 'b' ze plati:

$a \oplus b = e$

Resime tedy rovnici

$a + b + ab = 0\nl a + b(1+a) = 0\nl b = -\frac{a}{a+1}$

Vidime tedy, ze mnozina $\mathbb{R}-\{-1\}$ spolu s operaci $\oplus$ tvori grupu. Jeste bychom ale meli overit, ze tato operace je skutecne na teto mnozine, tedy ze nemuzeme pomoci te operace dostat cislo -1, cimz bychom z te mnoziny vyskocili. To uz ale necham na tobe...

robert.marik

Preklep:
Nyni uz staci najit neutralni prvek, tedy takovy prvek 'b' ze plati:
Nyni uz staci najit inverzni prvek, tedy takovy prvek 'b' ze plati:

jeste je potreba dokazat, ze b je inverzni i z druhe strany, nebo ze operace komutuje.

A ja rad hledam ta nejjednodussi reseni, co jednoprvkova grupa?

Lishaak · 16. 05. 2008 22:06

↑ robert.marik:

Preklep opraven, se vsim souhlasim

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2008 21:42 — Editoval informatik (16. 05. 2008 18:52)

Diskrétní matematika

#2 16. 05. 2008 21:51

Re: Diskrétní matematika

#3 16. 05. 2008 21:59 — Editoval robert.marik (16. 05. 2008 22:00)

Re: Diskrétní matematika

#4 16. 05. 2008 22:06

Re: Diskrétní matematika

Zápatí